در نیمه سده نوزدهم میلادی «ژرژ بول» ریاضیدان ایرلندی پدر نویسنده كتاب خرمگس نخستین كتاب «منطق ریاضی» را همراه با نمادها و نشانه های تازه ای منتشر كرد، حتی مورد اعتراض بسیاری از ریاضیدانان قرار گرفت كه «این یك نوع بازی با علامت هاست و هیچ گونه كاربردی ندارد»، در ضمن «انسان را از اندیشیدن بازمی دارد.»
وقتی می شنویم یا می خوانیم «محمد خوارزمی» دانش جبر را به وجود آورد، «خیام» آن را ادامه داد و «جمشید كاشانی» توانست با ظرافت و زیبایی یك معادله درجه سوم را برای محاسبه دقیق سینوس یك درجه حل كند و یا «ابوالوفای بوزجانی» و «ابوریحان بیرونی» پایه های مثلثات را ریختند و بیشتر دستورهای آن را به دست آوردند و آنها را ثابت كردند و سرانجام «نصیرالدین طوسی» كتاب مستقلی درباره مثلثات تالیف كرد، ممكن است با سهل اندیشی تصور كنیم این دانشمندان بزرگ زندگی بی دغدغه ای داشته اند و از آنجا كه «غم نان» آنها را آشفته نمی كرد، در ساعت های فراغت خود به «بازی» با عدد و شكل می پرداخته اند تا هم وقت خود را پر كنند و هم ذهن جست وجوگر خود را با كشف رازهای عدد و شگفتی های شكل راضی نگه دارند... و ما وقتی در سال های دبیرستان ساعت ها روی یك مسئله هندسی كار می كنیم و یا ضمن جست وجوی راه حل مسئله های جبری یا اثبات درستی اتحادهای مثلثاتی ساعت ها وقت خود را می گذرانیم، ممكن است این پرسش از ذهن ما بگذرد كه «اینها كدام دشواری زندگی را حل می كنند؟» و «این همه فرمول ها و شكل های انتزاعی كدام یك از دردهای بی شمار انسان امروز را درمان می كنند؟» و ... وقتی در نیمه سده نوزدهم میلادی «ژرژ بول» ریاضیدان ایرلندی پدر نویسنده كتاب خرمگس نخستین كتاب «منطق ریاضی» را همراه با نمادها و نشانه های تازه ای منتشر كرد، حتی مورد اعتراض بسیاری از ریاضیدانان قرار گرفت كه «این یك نوع بازی با علامت هاست و هیچ گونه كاربردی ندارد»، در ضمن «انسان را از اندیشیدن بازمی دارد، تنها به رابطه ها و دستورها توجه دارد و دشمن تفكر است». ولی بعد وقتی ماشین محاسبه و رایانه به میدان آمد، معلوم شد كه بدون منطق ریاضی حتی یك گام هم نمی توان برداشت.
وقتی «كپلر» (۱۶۳۰ ۱۵۷۱میلادی) برای بررسی حركت سیاره ها و «نیوتن» (۱۷۲۷ ۱۶۴۳ میلادی) برای طرح مكانیك آسمانی خود متوجه اهمیت جدی ویژگی های مقاطع مخروطی (دایره، بیضی، هذلولی و سهمی) شد، نوشته های «مناخوسموس» (۳۵۰ سال پیش از میلاد) و «آپولونیوس» (۲۵۰ سال پیش از میلاد) را درباره مقطع های مخروطی كه نزدیك به دو هزار سال در فراموشی به سر می بردند از قفسه ها بیرون كشیدند، گرد و خاك بیست سده را از آنها زدودند و بحث ها و بررسی های مربوط به اخترشناسی و مكانیك آسمانی خود را بر اساس قضیه ها و مسئله های این نوشته ها مستدل كردند. ریاضیات همیشه و در تمامی طول تاریخ خود با زندگی و عمل بستگی داشته است. با وجود این در تاریخ ریاضیات می توان دوره هایی را تشخیص داد كه در آنها اهمیت درجه اول به ریاضیات كاربردی داده شده است. دوره هایی هم وجود دارد كه در آنها ریاضیات با سمت گیری نظری (محض) پیش رفته است. در واقع مسیر ریاضیات به تناوب از دوره ریاضیات كاربردی به ریاضیات محض و برعكس عبور كرده است. دو دوره اصلی از سمت گیری كاربردی ریاضیات را در گذشته می شناسیم. دوره اول كه از هزاره های پیش از میلاد و در واقع از زمان پیدایش انسان آغاز می شود و تا سده های ششم و هفتم پیش از میلاد ادامه دارد، دوران شكل گیری مفهوم های اصلی ریاضیات (یعنی عدد و شكل) در بستگی تنگاتنگ با نیازهای زندگی است. نخستین جهش در پیشرفت ریاضیات در پیدایش خط به وجود آمد.
خط به انسان امكان داد تا نیت خود را به صورت ساده ثبت كند و با نشانه ها و نمادها اندیشه خود را برای دیگران و هم برای آیندگان باقی بگذارد. در دوره نخست مسیر تكاملی با سمت گیری كاربردی در آغاز ریاضیات از سایر آگاهی های انسان جدا نبود. حتی در مرحله های پیشرفته تر، كاتبان و دبیران (كه اغلب كاهنان بودند) همه كاره بودند: پیشامدهای تاریخی و سیاسی را ثبت می كردند، آینده را پیشگویی می كردند و در ضمن حساب های لازم را نگه می داشتند. به تدریج با بغرنج شدن زندگی محاسبان و ریاضیدانان از كاتبان جدا شدند و صنف خاصی را تشكیل دادند، حتی برای آماده كردن نسل بعدی و انتقال دانش خود به دیگران كلاس های آموزشی را اداره می كردند. و این در واقع نقطه آغاز ریاضیات نظری به مفهوم ساده و اولیه خود بود. گرچه در این كلاس ها به طور كامل و بدون استثنا از مسئله هایی استفاده می شد كه به روشنی جنبه كاربردی داشت، ولی خود مسئله ها كم و بیش فرضی و ساخته ذهن معلمان بود. دیگر منتظر نمی ماندند تا ساختن یك انبار یا تقسیم غذا بین سربازان یا تقسیم زمینی كه مرزهای آن، به خاطر ریزش باران و یا طغیان آب، شسته شده بود، مطرح شود.
آن وقت «صاحبان دانش زمان» تلاش خود را برای حل آنها آغاز كنند، بلكه از قبل، مسئله ها را آماده می كردند و راه حل آنها را به شاگردان خود می آموختند. حتی به تدریج مسئله هایی مطرح و حل می شد كه، به ظاهر، اندكی دور از كاربرد عملی بود. از این جمله می توان از مسئله های عكس نام برد. اگر پیش از آن، با در دست داشتن بعدهای یك ساختمان، سطح بنا و گنجایش ساختمان را محاسبه می كردند، اكنون با فرض معلوم بودن سطح یا حجم و برخی بعدها، راه یافتن اندازه بعد مجهول را جست وجو می كردند. و این، در واقع، سر بر آوردن جوانه های نازك ریاضیات نظری بود. در این دوره اثبات و استدلال منطقی كمتر آموزش داده می شد. حتی در حالت هایی هم كه به احتمالی معلم در ذهن خود با نوعی استدلال آشنا بود آن را به شاگردان خود منتقل نمی كرد و شاگرد باید تنها یاد می گرفت كه چگونه جواب مسئله را به دست آورد و هیچ گونه چون و چرا نداشته باشد.
طبیعی است قانون های موجود كه به صورت «دستور» و «فرمان» از نسلی به نسل دیگر منتقل می شد، نمی توانست دقیق و بی عیب باشد. برای محاسبه مساحت زمینی كه به شكل چهارضلعی بود، نصف مجموع دو ضلع روبه رو را در نصف مجموع دو ضلع روبه روی دیگر ضرب می كردند (كه تنها برای مستطیل درست است) و برای محاسبه مساحت مثلث متساوی الساقین نصف حاصلضرب قاعده در ساق را به دست می آوردند و این گرچه برای محاسبه های عملی آن روزگار مشكلی به وجود نمی آورد، اما درست و دقیق نبود. اعتبار هر آموزشی به اعتبار «معلم» و اعتبار هر نوشته ای به اعتبار نویسنده آن مربوط بود ولی زندگی راه خود را می رفت و روز به روز بغرنج تر می شد و در نتیجه محاسبه ها «استدلال»های قبلی برای حل دشواری های تازه كافی نبود. به تدریج اعتبار «صاحبان اعتبار» فروریخت و توجه به ریشه های استدلالی و منطقی ریاضی روزافزون شد، جوانه های ریاضیات نظری كه در سایه قرار داشت، شكوفا شد و به تدریج ریاضیات كاربردی را در سایه خود قرار داد. انگیزه درونی ریاضیات نظری (یعنی منطق و استدلال) به عنوان عامل تعیین كننده مسیر ریاضیات به كار افتاد و انگیزه بیرونی (یعنی مشاهده و تجربه) به صورت عاملی درجه دوم درآمد.