پنجشنبه ۳ بهمن ۱۳۹۸
شنبه ۲۵ شهریور ۱۳۹۱ 14614 1 51

زندگی نامه ریاضیدان بزرگ، اقلیدس

زندگینامه بزرگان ریاضی: اقلیدس، کلید هندسه

نام: اقلیدس
تولد: 325 قبل از میلاد
درگذشت: 265 قبل از میلاد
شهرت: ریاضیدان

 
اقلیدس
 
شرحی مختصر از زندگی نامه اقلیدس:

اقلیدس، ریاضیدانی یونانی بود که در قرن سوم پیش از میلاد در شهر اسکندریه می‌زیست. او نویسندهٔ موفق‌ترین کتاب درسی تاریخ، اصول (Elements) است که مدت دو هزار سال شالودهٔ تمام آموزش هندسه در غرب بود.

"اقلی" درزبان یونانی به معنای کلید و "دس "به معنای هندسه و "اقلیدس" به معنای "کلید هندسه" است.
 
پس از مرگ اسکندر مقدونی، امپراتوری بین عده‌ای از سران سپاه او تقسیم شد. در این میان فرمانروایی مصر و اسکندریه به دست بطلمیوس افتاد. او برای جذب دانشمندان آن زمان دانشگاهی با عظمت در اسکندریه ساخت و دانشمندان و افراد مستعد را از نقاط دور و نزدیک به آنجا دعوت کرد. برای ریاست بخش ریاضی این دانشگاه از اقلیدس که احتمالاً در آتن می‌زیست، دعوت شد. او در دانشگاه اسکندریه استاد ریاضیات و ظاهراً مؤسس حوزه ریاضیات اسکندریه بود.

 
مجسمه بطلمیوس اول
مجسمه بطلمیوس اول، پادشاه مصر و اسکندریه در موزه لوور پاریس

معروفترین نقل قول اقلیدس مربوط به گفته ای است که در پاسخ به بطلمیوس اول، بيان داشته است. به بطلمیوس پیشنهاد شده بود که هندسه را پیش اقلیدس بخواند. بطلمیوس پی برد که فهم قضایای هندسه برای او مشکل است و از اقلیدس درخواست کرد که راه ساده تری برای آموزش آنها انتخاب کند. اقلیدس سریعاً پاسخ داد كه در هندسه راه شاهانه وجود ندارد!

اصول اقلیدس
کتاب اصول شامل ۱۳ مقاله و ۴۶۵ قضیه راجع به هندسه، نظریه اعداد و جبر مقدماتی (هندسی) است.
 
در کتاب اصول، اقلیدس همهٔ دستاوردهای پیشینیان در هندسه را گرد آورده و به شکلی نو نظم بخشیده و از خود نیز چیزهایی به آن افزوده است. این اثر به گونه‌ای بود که جای همه اصول قبلی را گرفت و هیچ اثری از پیش از خود بر جای نگذاشت و آنها را به فراموشی سپرد. شاید هیچ اثری به جز کتب مقدس، در تاریخ آنچنان مورد توجه، مطالعه و ویرایش قرار نگرفته باشد.
 
هیچ نسخه‌ای از اصول اقلیدس که به زمان خود اقلیدس بازگردد وجود ندارد. تنها نسخه‌های موجود به زمان تئون باز می‌گردد. تئون اسکندرانی ۷۰۰ سال پس از اقلیدس در کتاب اصول بازنگری‌هایی انجام داده بود. این کتاب در قرن هشتم به زبان عربی ترجمه شد و بعدها ترجمه‌های لاتینی از روی ترجمه‌های عربی این کتاب انجام شد. اولین انتشار چاپی کتاب در سال ۱۴۸۲ در ونیز انجام شد و این اولین کتاب ریاضی مهمی بود که به چاپ می‌رسید.
 
هندسهٔ اقلیدسی بر چند اصل ساده و بدیهی استوار است و تمام قضایای هندسی از آنها نتیجه گرفته می‌شود؛ به گونه‌ای که هر قضیه ثابت‌کنندهٔ قضیهٔ پس از خود باشد. افزون بر هندسهٔ مسطحه، فصل‌هایی از کتاب هم به جبر، نظریهٔ اعداد و هندسهٔ فضایی اختصاص یافته است.
 
شیوهٔ ابتکاری اقلیدس در تألیف «اصول» بسیار مورد توجه دیگر ریاضیدان‌ها قرار گرفت و پس از کوتاه مدتی، این کتاب به عنوان مرجع اصلی آموزش هندسه پذیرفته شد. اقلیدس یافته‌های پراکندهٔ هندسه‌دانان پیشین را در چارچوبی چنان منطقی گرد آورده بود که تا قرن‌ها بعد کسی نتوانست چیزی بر آن بیافزاید. با اینحال دامنهٔ تأثیر کتاب اصول از محدودهٔ دانش هندسه فراتر می‌رود؛ روش استنتاجی اقلیدس در شکل‌دهی تفکر منطقی در غرب و پیدایش علوم جدید بسیار مؤثر افتاده است. دانشمندان بزرگی چون آیزاک نیوتن، گالیلئو گالیله و نیکلاس کوپرنیک شیوهٔ او را سرمشق پژوهش‌های خود قرار دادند. نیوتن کتاب بزرگ «پرینسیپا» را با پیروی از الگوی «اصول» اقلیدس به نگارش درآورده است.
 
حاکمیت مطلق نظریات اقلیدس بر علم هندسه تا اواسط قرن نوزدهم دوام داشت. در این زمان گروهی از ریاضیدانان پس از مطالعات بسیار به این نتیجه رسیدند که می‌توان در اصل پنجم اقلیدس (که می‌گوید دو خط موازی هیچگاه یکدیگر را قطع نمی‌کنند) گزاره‌ای دیگر را قرار داد (مثلاً دو خط موازی در یک نقطه یکدیگر را قطع می‌کنند یا در دو نقطه یا در بینهایت نقطه و...)ودر عین حال سازگاری برقرار باشد و بر پایهٔ این یافتهٔ ریاضی انواع هندسه‌های نااقلیدسی را پدید آوردند. ز علیرغم نام‌آوری اقلیدس جزئیات زندگی او معلوم نیست. از یادداشت‌های پروکلوس و پاپوس اسکندرانی دانسته‌ایم که اقلیدس از اعضای فعال کتابخانهٔ بزرگ اسکندریه و احتمالأ درس‌خواندهٔ آکادمی افلاطون بوده است ولی از تاریخ دقیق تولد و مرگ او مطلع نیستیم و حتی نمی‌دانیم در کدامین شهر یا قارهٔ جهان زاده شده است. نویسندگان قرون وسطا گاهی او را با اقلیدس مگارایی – فیلسوف سقراطی قرن چهارم پیش از میلاد- اشتباه گرفته‌اند.
 
اقلیدس عکس قضیه فیثاغورث را مطرح کرده که اگر در یک مثلث مجذور یک ضلع برابر مجموع مجذورهای دو ضلع دیگر باشد، زاویه بین آن دو ضلع، زاویه قائمه است.
 
صفحه ای از کتاب اصول اقلیدس
 
هندسهٔ اقلیدسی به مجموعهٔ گزاره‌هایِ هندسی‌ای اطلاق می‌شود که به بررسی موجودات ریاضیاتی مثل نقطه و خط می‌پردازد و بر پایه‌هائی که اقلیدس ریاضی‌دان یونانی در کتاب خود به‌نام اصول عرضه کرده، بنا شده‌است. این قضایایِ هندسی عمدتاً توسطِ یونانیانِ باستان کشف و توسطِ اقلیدسِ اسکندرانی گردآوری شده‌اند و بخش بزرگی از آن همان است که در دبیرستان‌ها تدریس می‌شود. کتابِ «اصولِ» اقلیدس یکی از بزرگ‌ترین و تأثیرگذارترین کتاب‌ها چه بلحاظِ محتوا و چه از نظرِ روشِ اصلِ موضوعه‌ای‌اش بوده‌است. تا قرن نوزدهم میلادی هر وقت از هندسه سخن می‌رفت منظور هندسه اقلیدسی بود. بررسی مفاهیم هندسه اقلیدسی در دو بعد را «هندسه مسطحه» و در سه بعد «هندسه فضائی» می‌نامند. این مفاهیم را به ابعاد بالاتر از سه نیز می‌توان تعمیم داد و همچنان آن را هندسه اقلیدسی نامید.
 
در حدود ۳۰۱ سال قبل از میلاد دنیای هندسه در تب و تاب بود. نظرات مختلفی در زمینهٔ هندسه وجود داشت و سرانجام اقلیدس با انتشار کتاب اصول بنیادی را بنا نهاد که تا قرن‌ها منسجم‌ترین بنیادهای نظری بشر محسوب می‌شود. روش اقلیدس ساده بود او چند اصل موضوع و چند اصل متعارف را بدون اثبات به عنوان اصول بدیهی پذیرفت و سپس بر اساس آن صدها قضیه دیگر را اثبات کرد که بیشتر آن‌ها بسیار دور از ذهن بودند.
 
اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود. او در اصول سیزده جلدی خود تمام دانش بشری تا آن زمان گرد آورد و به مدت دو هزار سال مرجعی بی‌بدیل باقی ماند. روش بنداشتی (اصل موضوع) اقلیدس منجر به کاربرد الگویی شد که امروزه به آن ریاضیات محض می‌گوییم. محض از این نظر که با اندیشهٔ محض سر و کار دارد و از راه آزمون خطا و تجربه به دست نمی‌آید و درستی یا نادرستی احکام آن را نیز از راه تجربه نمی‌توان اثبات یا نفی کرد.
 
برای استفاده از روش بنداشتی یا اصل موضوع دو شرط را باید پذیرفت:
 
شرط اول: پذیرفتن احکامی به نام بنداشت یا اصل موضوع که به هیچ توجیه دیگری نیاز نداشته باشند.
شرط دوم: توافق بر این‌که کی و چگونه حکمی «به طور منطقی» از حکم دیگر نتیجه می‌شود، یعنی توافق در برخی قواعد استدلال.
کار عظیم اقلیدس این بود که چند اصل ساده، چند حکم که بی‌نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند دست‌چین کرد، و از آن‌ها ۴۶۵ گزاره نتیجه گرفت. زیبایی کار اقلیدس در این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفت.
 
اصول موضوعه
تمامِ هندسهٔ اقلیدسی (تمامِ قضیه‌هایی که در دبیرستان می‌خوانیم، قضیهٔ فیثاغورس و غیره) می‌توانند از پنج اصلِ موضوعهٔ زیر استخراج شوند:
 
- از هر دو نقطه یک خطِ راست می‌گذرد.
- هر پاره‌خط را می‌توان تا بینهایت رویِ خطِ راست امتداد داد.
- با یک نقطه به عنوانِ مرکز و یک پاره‌خط به عنوانِ شعاع می‌توان یک دایره رسم نمود.
- همهٔ زوایایِ قائمه با هم برابر اند.
- اگر یک خط دو خطِ دیگر را قطع کند، آن دو خط در طرفی که جمعِ زوایایِ داخلیِ تولید شده توسطِ خطِ مورب کم‌تر از دو قائمه‌است به هم می‌رسند (خود یا امتدادشان).

برایِ بیانِ این اصولِ موضوعه به مفاهیمی مانندِ نقطه و خط نیاز داریم. همان‌طور که باید چند گزاره را بدونِ اثبات بپذیریم تا بقیهٔ گزاره‌ها استخراج شوند لازم است چند مفهوم را نیز بدونِ تعریف بپذیریم. به این مفاهیم «تعریف‌نشده‌ها» می‌گویند. همان‌طور که دیده می‌شود اصولِ هندسهٔ اقلیدسی به جز اصلِ پنجم بسیار ساده و بدیهی به نظر می‌آیند. به همین‌دلیل از زمانِ اقلیدس ریاضیدانانِ بیشماری در شرق و غرب (من‌جمله خیام ریاضیدانِ ایرانی) تلاش کرده‌اند اصلِ آزاردهندهٔ پنجم را به اثبات برسانند. این کار همواره شکست خورده‌است. سپس برخی ریاضیدانان تلاش نمودند خلافِ اصلِ پنجم را فرض کنند تا ببینند آیا هندسه‌ای متناقض پدید می‌آید یا نه. از آن‌جا که هیچ تناقضی در هندسه‌هایِ دارایِ اصلِ پنجمِ متفاوت دیده نشد به آن‌ها نامِ هندسه نااقلیدسی را دادند. در نتیجه این مسأله مطرح گردید که تجربه کدام هندسه را تأیید می‌کند. نظریهٔ نسبیت عام به این پرسش پاسخ می‌دهد.
 
اصول متعارفی

- دو مقدار مساوی با مقدار سوم با هم مساوی اند.
- اگر به دو مقدار مساوی مقادیر مساوی اضافه کنیم، حاصل جمع‌ها با هم مساوی اند.
- اگر از دو مقدار مساوی مقادیر مساوی کم کنیم، باقیمانده‌ها با هم مساوی اند.
- دو چیز قابل انطباق با هم برابر اند.
- کل از جزء بزرگ‌تر است.
 
تابلو اقلیدس در مدرسه رافائل آتن
تابلو اقلیدس در مدرسه رافائل آتن

پس از اقلیدس
۲۱۰۰ سال پس از اقلیدس هندسهٔ او یگانه هندسهٔ موجود بود. با این وجود در طی این مدت طولانی ریاضی‌دان‌های زیادی کوشیدند اصل پنجم را از روی سایر اصل اثبات کنند که این کوشش‌ها سرانجام به نتیجهٔ دیگری منجر شد و در اوایل قرن نوزدهم هندسه‌های جدیدی به وجود آمد که هندسه‌های نااقلیدسی نامیده می‌شود.
 
هندسه‌ای که تنها بر اساس چهار اصل اول اقلیدس ساخته می‌شود هندسه نتاری نامیده می‌شوند. دیوید هیلبرت در آخرین سال قرن نوزدهم (۱۸۹۹) کتاب «مبانی هندسه» خود را نوشت. هیلبرت در این کتاب صورت‌بندی دقیق‌تری از هندسهٔ اقلیدسی ارائه دارد.
 
 
تحریر اقلیدس
کتاب تحریر، متن بازنویسی شده کتاب «اصول» اقلیدس به زبان عربی و مهمترین کتاب در ریاضیات دوره اسلامی است. نویسنده کتاب، خواجه نصیرالدین طوسی می باشد. کتاب «اصول» نوشته (اقلیدس مشهورترین ریاضی دان دوران باستان معروف به پدر هندسه) اولین و مشهورترین اثر او در علم هندسه است که در آن ریاضیات یونانی تا سال 300 قبل از میلاد، بصورت علمی، تنظیم و عرضه شده و تا زمان حاضر، مبنای تعلیم هندسه مقدماتی بوده است. نخستین کسی که این کتاب را از یونانی به عربی ترجمه کرد حجاج بن یوسف مطری کوفی و در زمان هارون الرشید بود. دانشمندان جهان اسلام، برای رفع کاستی ها و آسان تر کردن استفاده از این کتاب (اصول اقلیدس) به عنوان یک کتاب درسی، کوشش زیادی کردند و تلخیص ها و تحریرهائی از آن فراهم آوردند مانند "محیی الدین مغربی" و " اثیرالدین ابتری" ولی «تحریر اصول اقلیدس» خواجه نصیرالدین طوسی، همه را تحت الشعاع خود قرار داد و به صورت یکی از پرخواننده ترین متن های دوره اسلامی در آمد.
 
معرفی اجمالی نویسنده:
ابوجعفر محمدبن محمد، لقبش "نصیرالدین" که به "خواجه نصیرالدین طوسی" مشهور است فیلسوف، دانشمند شیعه ایرانی و از بزرگترین ریاضی دانان و منجمین اسلامی، سال 597 یا 595 هـ ق به قولی در طوس و به قولی در جهرود از توابع شهر قم بدنیا آمد. او از علمای نادر شیعه در عالم اسلام و تمام مشرق زمین بود، از نظر هوش زیاد و غایت دانش و نهایت بینش شهره آفاق می باشد. خدمات اسلامی و ایرانی او، زبانزد خاص و عام است. به امر ناصرالدین عبدالرحمن (حکمران اسماعیلی قهستان) به «الموت» برده شد. سال 654 هـ ق که «الموت» به دست مغولان و "هلاکوخان" افتاد و در زمانی که مسلمانان مخصوصا ایرانیان در اثر حمله و هجوم لشگر مغول قتل عام می شدند، شهر به شهر می رفتند و به هیچ کس رحمی نمی شد. این نابغه دوران (خواجه نصیرالدین) قیام کرد و به مذمت "هلاکوخان" در آمد، وزارت او را قبول کرد و به این وسیله، مغول خونخوار را تحت نفوذ خودش در آورد و در حقیقت بر عقل "هلاکوخان مغول" مسلط شد. سال 656 هـ ق، در حمله "هلاکو" به بغداد، او به همراه هلاکو به بغداد رفت و در برانداختن حکومت 524 ساله عباسیان و برچیدن خلافت آنها، با تدابیر لازم، به این حکومت پایان داد و تا آنجا که می توانست در احیای این خاک پاک و ترویج علم و ادب و اصلاح و ارشاد و به پاداشتن مذهب شیعه اثنی عشری، اهتمام زیاد و تمام بکار برد. خواجه نصیر، به امر هلاکوخان مغول، رصدخانه بزرگ مراغه را تاسیس کرد و تا 16 سال خودش بر سر آن بود. امروزه، اسمی بی مسمی، از آن به جای مانده است، نیز در مراغه کتابخانه بسیار مهمی بنا نمود که آن زمان، بیشتر از چهار صد هزار کتاب در آنجا بود. شهرت جاوید این شخصیت بزرگ، بیشتر به علت تحقیقاتی است که در مثلثات کرده است. تالیفات زیادی نیز در ریاضی، نجومی، علم کلام و ... به عربی و به فارسی دارد که یکی تنقیح هندسه اقلیدس، معروف به تحریر اقلیدس است. از اساتید او می توان پدرش را در علوم نقلی، ابن میثم بحرانی، محقق حلی، قطب الدین مصری و فرید الدین داماد را نام برد. وفات او در سال 672 هـ ق است.
 
تقسیم بندی اجمالی کتاب:
مطالب کتاب (تحریر اصول اقلیدس) بدین قرار است:
مقاله اول: درباره تعریف مقدماتی، اصول موضوعه و اصول متعارفی هندسه
مقاله دوم: درباره تبدیل مساحت ها و جبر هندسی
مقاله سوم: شامل قضایایی درباره دایره ها، وترها و اندازه گیری زاویه های مربوط به آنها
مقاله چهارم: درباره ترسیم های هندسی (ترسیم چند ضلعی های منظم محاطی و محیطی)
مقاله پنجم: درباره نظریه تناسب
مقاله ششم: درباره کاربرد نظریه تناسب در هندسه مسطحه
مقالات هفتم تا نهم: جملگی درباره نظریه مقدماتی اعداد (از جمله تناسب های مسلسل، تصاعدهای هندسی و اعداد اول)
مقاله دهم: درباره اعداد گنگ با استفاده از ترسیم آنها به صورت پاره خط های نامتوافق
مقالات یازده تا سیزدهم: درباره هندسه فضایی
مقاله چهارده و پانزده: مقالات الحاقی به صورت متمم هایی درباره هندسه مسطحه و فضایی
 
این کتاب، مشتمل برخلاصه اثبات های قضایای اصول به همراه بیشتر از 200 یادداشت در توضیح متن که معمولا با عبارت «اقول» شروع شده و به حدود 180 قضیه این رساله منضم شده است. این یادداشت ها را خود خواجه نصیرالدین نوشته است. در بعضی از این یادداشت ها، حالت هایی به برخی قضایای اقلیدس، اضافه شده است.
 
نقش کتاب تحریر اقلیدس
خواجه طوسی، قبل از «تحریر» اقلیدس، «تحریر مجسطی بطلمیوس» را پدید آورد و علاوه بر اینها، تحریرهایی از آثار ریاضی "ارشمیدس" و "آپولوینوس" و چند دانشمند یونانی دیگر فراهم کرد که تمام اینها برای فراگیرنده ریاضیات، مانند پلی بود که او را به مطالعاتش می رساند ولی این کتاب یعنی تحریر اقلیدس نقش زیادی در نظام آموزشی مدرسه های آن زمان داشت و رواج آن، ناشی از موقعیت خواجه نصیر بود که ریاست مهمترین نهاد آموزشی عصر خود در نجوم ریاضی، یعنی «رصد خانه مراغه» را بر عهده داشت.
 
نشر و چاپ کتاب
از «تحریر اصول اقلیدس» نسخه های خطی متعدد، باقی است. هم چنین تلخیص ها، شرح ها و حاشیه هایی نیز بر آن نوشته شده است مانند: حاشیه "علی بن محمد شریف جرجانی" متوفی 816، حاشیه "قاضی زاده رومی" متوفی 931. این کتاب بارها به صورت ناقص یا کامل به فارسی ترجمه شده که اولین بار ترجمه از "قطب الدین محمود شیرازی"، شاگرد خواجه نصیر طوسی است. در سال 1298 ق در تهران چاپ شد. (2) دیگر ملامهدی نراقی با نام «توضیح الاشکال»، (3) خیرالله خان مهندس لاهوری متوفی 1161 با نام «تقریر التحریر» ترجمه به فارسی کرده اند. دو نمونه نیز از ترجمه های ناقص این کتاب در هندوستان به چاپ رسیده است.

مآخذ:
ابن ندیم، الفهرست، به کوشش گوستاو فلوگل، لایپزیگ، 1871-1872م؛ تحریر اقلیدس، از نگارنده‌ای ناشناس، رم، 1594م؛ قاضی‌زادۀ رومی، موسى، شـرح اشکال‌‌التأسیـس نجیب‌ الـدین سمـرقندی، به‌کـوشش‌ محمد سویسـی، تـونس،
 
منابع:
- دانشنامه فارسی ویکی پدیا 
- گرینبرگ، ماروین جی. هندسه‌های اقلیدسی و نااقلیدسی. ترجمهٔ م. ه. شفیعیها. ویرایش ویراستهٔ احمد بیرشک، حمید کاظمی، همایون معین. چاپ دوم. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۶۳.
- شهریاری، پرویز، هندسه در گذشته و حال، انتشارات سیمرغ.
- هاوارد دبلیو ایوز. آشنایی با تاریخ ریاضیات. ترجمهٔ محمدقاسم وحیدی اصل. چاپ هشتم. تهران، ۱۳۶۹. ۱۳۷. شابک ‎دوره ISBN ۹۶۴-۰۱-۸۰۴۳-۲.

آی هوش: گنجینه دانستنی ها و معماهای هوش و ریاضی

نظراتی که درج می شود، صرفا نظرات شخصی افراد است و لزوماً منعکس کننده دیدگاه های آی هوش نمی باشد.
آی هوش: مرجع مفاهیم هوش و ریاضی و انواع تست هوش، معمای ریاضی و معمای شطرنج
 
در زمینه‌ی انتشار نظرات مخاطبان، رعایت برخی موارد ضروری است:
 
-- لطفاً نظرات خود را با حروف فارسی تایپ کنید.
-- آی هوش مجاز به ویرایش ادبی نظرات مخاطبان است.
-- آی هوش از انتشار نظراتی که در آنها رعایت ادب نشده باشد معذور است.
-- نظرات پس از تأیید مدیر بخش مربوطه منتشر می‌شود.
 
 
 
 
  1. رضا يکشنبه ۳۰ دی ۱۳۹۷ --- ۷:۵۵:۰۲

    درباره اقلیدس سخنان بسیاری مطرح است. عده ای او را پدر هندسه می نامند(پدریابی برای علوم شیوه کار غربی هاست!) درحالی که جمعی معتقدند که اقلیدس نام کتاب است نه نام مولف؛ از جمله این اشخاص صاحب بن عباد ادیب و لغوی مشهور است که در کتاب محیطاللغه می¬گوید اقلیدس نام کتاب هندسه است. صاحب کشف¬الظنون هم اقلیدس را نام کتاب نمی¬داند و می¬گوید این کلمه مرکب است از دو کلمه اقلی که معرب کلید و دس به معنی مقدار که روی هم رفته مفهوم کلیدِ مقدار را دارد.(نک: تاریخ علوم اسلامی، جلال¬الدین همایی، نشر هما، 1363 :98). هندسه معرب واژه هنداچَک پهلوی است. در فارسی اندازه شده است. اَند، اَندین در گویش¬ها از همین است. در کتاب های تاریخ علمی که غربیان نوشته اند نامی از اقلیدس نیست.

نظر شما

پرطرفدارترین مطالب امروز

سیستم عدد نویسی رومی
قواعد بخش پذیری بر اعداد  1 تا 20
اتحادهای ریاضی
آزمون های وکسلر
طنز ریاضی: اثبات 5=2+2
مراكز مغزی حافظه و علل فراموشی
مریم میرزاخانی، نابغه ریاضی ایران و جهان
راه های پرورش خلاقیت در دانش آموزان
زندگینامه بزرگان ریاضی: ابوریحان بیرونی