يکشنبه ۱۷ آذر ۱۳۹۸
سه شنبه ۸ اردیبهشت ۱۳۹۴ 5276 0 5

دو ساختار ریاضی را یک‌ریخت (ایزومورف) نامیم هرگاه یک یک‌ریختی بینشان باشد.

مفاهیم ریاضی:

یک‌ریختی (ایزومورفیسم)

در جبر مجرد، هر یک‌ریختی یا ایزومورفیسم1، یک تابع دوسویی هم‌ریختی است. دو ساختار ریاضی را یک‌ریخت (ایزومورف2) نامیم هرگاه یک یک‌ریختی بینشان باشد.

تعریف
فرض کنید (G,*) و (G',*') گروه باشند، تابع 'φ:  G → G را یک‌ریختی (ایزومورفیسم) گوییم هرگاه دوسویی (یک به یک و پوشا) باشد و
\forall a,b \in G \varphi(a*b)=\varphi(a)*'\varphi(b)
عبارت بالا را اغلب به صورت ساده شدهٔ \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b) می‌نویسند. باید توجه داشت که در این تعریف، حاصل‌ضرب سمت چپ (یعنی ab در \varphi(ab)) در G است ولی حاصل‌ضرب \varphi(a)\varphi(b) در 'G می‌باشد.
 
مثال‌ها
فرض کنید (×,+R) گروه تمام اعداد حقیقی مثبت تحت ضرب و (+,R) گروه تمام اعداد حقیقی تحت جمع باشد. تابع لگاریتم را با هر پایه ثابت b از +R بروی (یعنی تابع پوشا است) R در نظر بگیرید. \log_b: \bold{R}^+ \to \bold{R} از آنجایی که برای هر x و y عضو R داریم:
 
\log_b(xy) = \log_b(x) + \log_b(y) \!
 
پس لگاریتم یک هم‌ریختی است و از آنجایی که یک به یک و پوشا نیز هست پس یک یک‌ریختی می‌باشد.

Z تحت جمع و R تحت جمع یک‌ریخت نیستند، زیرا هیچ تابع یک‌به‌یکی از Z بروی R وجود ندارد.

قضیه‌ها
هر گروه دوری نامتناهی G با گروه جمعی Z از اعداد صحیح یک‌ریخت است.

قضیه کِیلی: هر گروه با گروهی از جایگشت‌ها یک‌ریخت (ایزومورف) است. این قضیه منسوب به آرتور کیلی، ریاضیدان انگلیسی است.

 
منابع و پی نوشت...

1. isomorphism
2. isomorphic
منابع:
-- فرالی، جان ب.. مهدی بهزاد. نخستین درس در جبر مجرد. ج. اول. ترجمهٔ مسعود فرزان. تهران: مرکز نشر دانشگاهی، ۱۳۸۳. شابک ‎۹۶۴-۰۱-۰۳۵۱-۹.
-- هرشتاین، آی. ان.. جبر مجرد. ترجمهٔ علی‌اکبر عالم‌زاده. تهران: مؤسسه انتشارات علمی دانشگاه صنعتی شریف، ۱۳۸۷. شابک ‎۹۷۸-۹۶۴-۶۳۷۹-۰۲-۲.

آی هوش: گنجینه دانستنی ها و معماهای هوش و ریاضی

نظراتی که درج می شود، صرفا نظرات شخصی افراد است و لزوماً منعکس کننده دیدگاه های آی هوش نمی باشد.
آی هوش: مرجع مفاهیم هوش و ریاضی و انواع تست هوش، معمای ریاضی و معمای شطرنج
 
در زمینه‌ی انتشار نظرات مخاطبان، رعایت برخی موارد ضروری است:
 
-- لطفاً نظرات خود را با حروف فارسی تایپ کنید.
-- آی هوش مجاز به ویرایش ادبی نظرات مخاطبان است.
-- آی هوش از انتشار نظراتی که در آنها رعایت ادب نشده باشد معذور است.
-- نظرات پس از تأیید مدیر بخش مربوطه منتشر می‌شود.
 
 
 
 

نظر شما

پرطرفدارترین مطالب امروز

زندگینامه بزرگان ریاضی: اقلیدس، کلید هندسه
قواعد بخش پذیری بر اعداد  1 تا 20
سیستم عدد نویسی رومی
آموزش ریاضی: تدریس مفهوم کسر
5 تکنیک برای افزایش تمرکز کودکان در کلاس درس
اتحادهای ریاضی
چگونه به کلاس اولی‌ها کمک کنیم؟
آزمون های وکسلر
اختلالات ریاضی و راه های درمان آن