سه شنبه ۱۹ فروردین ۱۳۹۹
جمعه ۳۰ خرداد ۱۳۹۳ 5179 0 15

تعریف تابع شمارش اعداد اول و تاریخچه آن

تابع شمارش اعداد اول

نمودار تعداد اعداد اول کوچک تر ۶۰

در ریاضیات تابع شمارش اعداد اول (Prime-counting function) تابعی است که برای شمارش تعداد اعداد اول کوچکتر یا مساوی عدد حقیقی x آن را با نماد  (π(x نمایش می‌دهند. (توجه کنید، این تابع ربطی به عدد مشهور π ندارد.)
 
 
تاریخچه
در قرن ۱۸ گاوس و لژاندر1 توانستند تقریب دقیق  x/\operatorname{ln}(x)\! را برای تعداد اعداد اول به دست آورند که بعدها این تقریب به 'نظریه اعداد اول' 2 مشهور شد و بر اساس آن ثابت شد که:

\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\pi(x)}{x/\operatorname{ln}(x)}=1 \!
 
با تعریف تابع انتگرال لگاریتم3 که آن را با نماد  li(x)  نمایش می دهند و به صورت زیر تعریف می شود:
 
{\rm li} (x) = \int_0^x \frac{dt}{\ln t}\;
 
ثابت شد که:
 
\lim_{x\rightarrow\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1\!
 
نظریه اعداد اول، اولین بار در سال 1896 توسط ژاک آدامار4 و چارلز ژان پوسین5 به صورت مستقل به اثبات رسید. آنها از مفاهیم تابع زتای ریمان6 استفاده کرده بودند. اثبات هایی که در آن از تابع زتای ریمان استفاده نشده بود حوالی سال 1948 توسط اتل سیلبرگ7 و پل اردوش اثبات گردید.
 
بررسی تابع:
در زیر چند مقدار ابتدایی  (π(n را به ازای n<=60 ملاحظه می کنید:
(توضیح: برای یافتن اعداد اول نه چندان بزرگ، می توان از الگوریتم غربال اراتوستن استفاده نمود)
 
n        π(n)
1        0
2        1
3        2
4        2
5        3
6        3
7        4
8        4
9        4
10        4
11        5
12        5
13        6
14        6
15        6
16        6
17        7
18        7
19        8
20        8
21        8
22        8
23        9
24        9
25        9
26        9
27        9
28        9
29        10
30        10
31        11
32        11
33        11
34        11
35        11
36        11
37        12
38        12
39        12
40        12
41        13
42        13
43        14
44        14
45        14
46        14
47        15
48        15
49        15
50        15
51        15
52        15
53        16
54        16
55        16
56        16
57        16
58        16
59        17
60        17
 
بررسی تابع به ازای بزرگ شدن اعداد:
 
محدوده تابع:
ریاضیدان فرانسوی پیر دوسارت8 ثابت کرد که برای x ≥ ۵۹۹ رابطه زیر برقرار است:
 
\frac{x}{\ln x}\left(1+\frac{1}{\ln x}\right) < \pi(x) < \frac{x}{\ln x}\left(1+\frac{1}{\ln x}+\frac{2.51}{(\ln x)^2}\right)
 
همچنین ثابت کرد که برای هر x ≥ ۳۵۵۹۹۱:
 
\frac {x}{\ln x + 2} < \pi(x) < \frac {x}{\ln x - 4}
 
بعدها ثابت شد که برای هر ε>۰ وجود دارد عددی طبیعی ماننده s که برای هر x>s رابطه زیر برقرار است:
 
\frac {x}{\ln x - (1-\varepsilon)} < \pi(x) < \frac {x}{\ln x - (1+\varepsilon)}
پی نوشت ...

1. آدرین-ماری لژاندر (Adrien-Marie Legendre)، ریاضیدان فرانسوی
2. prime number theorem
3. logarithmic integral
4. Jacques Hadamard، ریاضیدان فرانسوی
5. Charles Jean de la Vallée-Poussin، ریاضیدان بلژیکی
6. Riemann zeta function
7. Atle Selberg، ریاضیدان نروژی
8. Pierre Dusart

آی هوش: گنجینه دانستنی ها و معماهای هوش و ریاضی

نظراتی که درج می شود، صرفا نظرات شخصی افراد است و لزوماً منعکس کننده دیدگاه های آی هوش نمی باشد.
آی هوش: مرجع مفاهیم هوش و ریاضی و انواع تست هوش، معمای ریاضی و معمای شطرنج
 
در زمینه‌ی انتشار نظرات مخاطبان، رعایت برخی موارد ضروری است:
 
-- لطفاً نظرات خود را با حروف فارسی تایپ کنید.
-- آی هوش مجاز به ویرایش ادبی نظرات مخاطبان است.
-- آی هوش از انتشار نظراتی که در آنها رعایت ادب نشده باشد معذور است.
-- نظرات پس از تأیید مدیر بخش مربوطه منتشر می‌شود.
 
 
 
 

نظر شما

پرطرفدارترین مطالب امروز

سیستم عدد نویسی رومی
تست هوش: تاریخ تولد شریل را پیدا کنید.
همه چیز درباره هوش مصنوعی به زبان ساده
قواعد بخش پذیری بر اعداد  1 تا 20
کاربرد های هوش مصنوعی
ضریب ‌هوشی 120 شرط جهش تحصیلی
معمای ریاضی: جایگزینی عددی حروف
آموزش ریاضی: تدریس مفهوم کسر
معرفی کتاب: كاردرمانی برای كودكان كم توان ذهنی