معمای ریاضی: دو عدد شش رقمی

166667-333334
لطفاَ در صورت نیاز استدلال زیر را اصلاح کنید:
شش رقمی غیر کوچکتر را X و عدد دوم را Y فرض می کنیم. اگر عدد دوازده رقمی m برابر حاصلضرب XY باشد، باید: X(mY-1)=1000000Y
حالا فرض کنیم بزرگترین مقسوم علیه X و Y برابر با K باشد: (X,Y)=K
اگر X=kx و Y=ky، و M=km آنگاه داریم: x(My-1)=1000000y

چون x و y نسبت به هم اولند، پس باید x یکی از مقسوم علیه های 1000000 باشد یعنی یکی از 49 مقسوم علیه 2x5 به توان 6.
بدین ترتیب y بصورت یک کسر با صورت واحد و مخرج M-1000000/x میشود که از روی آن باید مخرج هم واحد شود (y=1) یعنی m=(1000000+x)/(kx)


نتیجه مهم اینکه وقتی y=1، یعنی Y=k و یعنی: X=xY
بنابراین یکی از اعداد شش رقمی باید مضرب دیگری باشد. همینطور چون این دو عدد در محدوده 100000 تا 999999 قرار دارند، یکی حداکثر مضرب 9 دیگری است. چون x مقسوم علیه 1000000 هم بود، پس یکی از اعداد 1، 2 و 5 خواهد بود.
x=1: mY=101x9901
x=2: mY=3x166667
x=5: mY=3x163x409

فقط برای حالت دوم می توان یک عدد شش رقمی در نظر گرفت که آنگاه باید عدد شش رقمی دیگر مضرب 2 آن باشد. پس:
166667333334

البته از راه تعیین حداکثر عوامل هم می توان به نتیجه رسید که از آن صرفنظر می شود.

مثل همیشه بسیار عالی