اتحادهای جبری
اتحاد (Identity) یک گزاره ریاضی همواره صادق است که معمولاً برای ساده‌سازی فعالیت های جبری در ریاضی بکار می‌رود. تعریف دیگری از اتحاد به صورت زیر است: معادله ای که به ازای هر عدد حقیقی برقرار باشد اتحاد نامیده می شود.
کاربردهای اتحادهای ریاضی:
-- ساده‌سازی محاسبات اعدادی مانند ۱۰۱۲
-- تجزیه عبارات گویا که خود در ب.م.م گیری و ک.م.م گیری کاربرد دارد.
-- تجزیه عبارات گویا برای حل معادلات درجه دو و سه و بیشتر کاربرد دارد.
انواع اتحاد:
اتحادها بسیار زیاد هستند اما چند اتحاد اصلی که پایهٔ اتحادهای دیگر هستند بدین قرارند:
:: اتحاد مربع دو جمله ای:
-- اتحاد مربع مجموع دو جمله:
(a+b)2=a2+b2+2ab
-- اتحاد مربع تفاضل دو جمله:
(a−b)2=a2+b2−2ab
___________________________________________________________________
:: اتحاد مربع سه جمله‌ای:
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
-- تعمیم اتحاد مربع چند جمله:
(a1+a2+a3+...+an)2=
a12+a22+a32+ ...+an2 + (2a1a2+2a1a3+2a1a4+...+2a1an) + (2a2a3+2a2a4+...+2a2an) + ... + 2an-1an
___________________________________________________________________
:: اتحاد مکعب مجموع دو جمله:
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
___________________________________________________________________
:: اتحداد مزدوج:
(a−b)(a+b)=a2−b2
___________________________________________________________________
:: اتحاد جمله مشترک:
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
-- تعمیم اتحاد جمله مشترک:
(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x+abc
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=x4+(a+b+c+d)x3+(ab+ac+ad+bc+bd+cd)x2+(abc+abd+acd+bcd)x+abcd
___________________________________________________________________
:: اتحاد مجموع و تفاضل مکعبات دو جمله (اتحاد چاق و لاغر):
-- اتحاد مجموع مکعبات دو جمله:
a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
-- اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله:
a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
-- تعمیم اتحاد مجموع مکعبات دو جمله (n، عدد طبیعی فرد)
an+bn=(a+b)(an−1 − an−2b + an−3b2 − ... + bn−1)
--- نتیجه:
an+1=(a+1)(an−1 − an−2 + an−3 − ... + 1)
-- تعمیم اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله (n، عدد طبیعی)
an−bn=(a−b)(an−1 + an−2b + an−3b2 + ... + bn−1)
--- نتیجه:
an−1=(a−1)(an−1 + an−2 + an−3 + ... + 1)
___________________________________________________________________
:: اتحاد اویلر:
(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−ac−bc)=a3+b3+c3−3abc
½(a+b+c)[(a−b)2+(b−c)2+(a−c)2)]=a3+b3+c3−3abc
--- نتیجه:
اگر a+b+c=0 آنگاه a3+b3+c3=3abc
اگر a=b=c آنگاه a3+b3+c3=3abc
___________________________________________________________________
:: اتحاد لاگرانژ:
(a2+b2)(x2+y2)=(ax+by)2+(ay−bx)2
___________________________________________________________________
:: اتحاد بسط دو جمله ای نيوتن: