I. ثابت می کنیم، تعداد رقم های حاصلضرب ئو عدد برابر است با مجموع تعداد رقم های دو عامل ضرب و یا یک واحد کمتر.
فرض کنید ab=c در نتیجه:
loga +logb = logc
و از آنجا داریم:
در ضمن، تفاضل [logc] - [loga]- [logb] برابر است با 0 یا 1، زیرا می توان ثابت کرد که برای هر دو عدد حقیقی x و y داریم:
[x+y] - [x] - [y] = 0 یا [x+y] - [x] - [y] = 1
از طرف دیگر، تعداد رقم های عددهای b، a و c، به ترتیب برابرند با
1+[loga]
1+[logb]
1+[logc]
از آنها، به سادگی حکم لازم، ثابت می شود.
II. اگر عددی دارای k رقم باشد، استفاده متوالی از حکم I، ما را به این نتیجه می رساند که توان nام این عدد، می تواند از (nk-n+1) تا nk رقم داشته باشد، زیرا برای محاسبه توان nام، باید (n-1) ضرب انجام داد، یعنی تعداد رقم ها برابر یکی از عددهای nk-i می شود (که در آن، i برابر یکی از عددهای 0، 1، 2، ...، n-1 است). در این صورت بنابر شرط مسأله، داریم:
در اینجا، i کوچکترین عدد غیرمنفی است که m را تا مضربی از n کامل می کند. و به سادگی می توان ثابت کرد:
یعنی اگر توان nام یک عدد طبیعی دارای m رقم باشد، خود آن عدد دارای این تعداد رقم است: