نیلس آبل یکی از پیشروترین ریاضیدانان قرن نوزدهم و احتمالا بزرگترین نابغه برخواسته از کشورهای اسکاندیناوی است. آبل همراه با معاصرانش ، گاوس و کوشی یکی از پیشگامان ابداع ریاضیات نوین بوده است . که مشخصه آن تاکید بر اثبات دقیق است. زندگیش آمیزه تندی بود از خوشبینی شوخ طبعانه در هنگامی که تحت فشار فقر و گمنامی قرار داشت . در قبال دستاوردهای درخشان برجسته فراوانش در ایام جوانی ، متواضع بود و در رویارویی با مرگی زودرس به آرامی تسلیم شد .
آبل یکی از شش فرزند کشیش فقیری در یکی از روستاهای نروژ بود . بیش از شانزده سال نداشت که استعداد عظیمش آشکار شد و مورد تشویق یکی از معلمینش قرار گرفت . و چیزی نگذشت که به خواندن و فهمیدن کارهای نیوتن ، اویلر ، لاگرانژ پرداخت . وی به عنوان تفسیری در مورد این تجربه ، نکته زیر را بعدها در یکی از یادداشتهای ریاضی اش به نوشت « به نظر من اگر کسی بخواهد درریاضی پیشرفت کند ، باید به مطالعه آثار اساتیدو نه شاگردان بپردازد» هجده سال بیشتر نداشت که پدرش مرد و خانواده را در تنگدستی به جا گذاشت . آنها با کمک دوستان و همسایگان امرار و معاش می کردند و با کمک مالی چند تن از استادان ، این پسر توانست در سال ۱۸۲۱ به طریقی وارد دانشگاه اسلو شد . نخستین پژوهشهای او ، که شامل حل مسئله کلاسیک منحنی همزمان به وسیله معادله انتگرالی بود در سال ۱۸۲۳ منتشر شد اولین جواب معادله ای از این نوع بود و راهگشایی برای پیشرفت وسیع معادلات انتگرالی در اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم شد .
در رشد علمی آبل به زودی از نروژ فراتر رفته و تصمیم به دیدار از فرانسه و آلمان گرفت . با حمایت دوستان و استادانش تقاضایی به دولت داد ، که پس از تشریفات و تاخیرات متعارف ، بورسی برای یک مسافرت طولانی علمی درقاره اروپا دریافت کرد . سال اول مسافرت خود به خارج را بیشتر در برلین گذراند و در آن جا با ریاضیدان آماتور و جوان و پرشوری به نام آگوست کرل که بعدها دوست نزدیک مشاور و حامی او شد ، آشنا گردید . در مقابل آبل ، کرل را به انتشار مجله مشهورش به نام مجله ریاضیات محض و کاربردی برانگیخت این اولین مجله ادواری جهان بود که کلاً به پژوهش های ریاضی اختصاصی داشت در برلین آبل تحت تاثیر مکتب فکری جدیدی قرار گرفت که توسط گاوس و کوشی رهبری می شد . و بیشتر تاکیدش بر استنتاج دقیق بود تا بر محاسبه مشروح درآن زمان به جز کار عظیم گاوس روی سری ها ی فوق هندسی کمتر اثباتی در آنالیز بود که امروزه نیز معتبر به شمار می آید . همان طور که آبل در نامه ای به یکی از دوستانش تشریح می کند اگر ساده ترین حالات را کنار بگذاریم درتمام ریاضیات حتی یک سری بی نهایت هم نمی توان یافت که مجموع آن دقیقاً تعیین شده باشد .
آبل جزوه مربوط به معادلات درجه پنجم خود را به امید آنکه به مثابه یک جواز عبور علمی به کار رود برای گاوس به گوتین فرستاد ولی گاوس به دلیلی که روشن نیست بدون آنکه به آن حتی نظری بیاندازد آنرا کنار گذاشت ، زیرا سی سال بعد پس از مرگش آن را سر بسته در بین اوراقش یافتند . با تاسف برای هر دو نفر ، آبل احساس کرد که در مورد او کار شکنی شده است و تصمیم گرفت بدون ملاقات با گاوس به پاریس برود. درپاریس با کوشی ، لوژاندر و دیگران ملاقات کرد ولی این ملاقات ها سرسری بود و او آن طور که می بایست شناخته نشد . وی درآن زمان چندین مقاله مهم در مجله کرل منتشر کرده بود ولی فرانسویان کمتر از وجود این مجله ادواری مطلع بودند و آبل خجالتیتر از آن بود که با افراد تازه آشنا راجع به کارهای خود صحبت کند آبل انتظار داشت در بازگشت به استادی دانشگاه منصوب شود ولی باز هم آرزوهایش نقش برآب شد . با تدریس خصوصی به امرار معاش پرداخت و مدت کوتاهی نیز به عنوان معلم کمکی در یک موسسه گمارده شد .
در این دوران یکسره مشغول کار بود و اغلب اوقات روی نظریه توابع بیضوی که آن را به عنوان عکس انتگرال های بیضوی کشف کرده بود کار می کرد . این نظریه بسرعت جای خود را به عنوان یکی از رشته های اصلی آنالیز قرن نوزدهم ، با کاربردهای فراوانی باز کرد . در این اثنا آوازه شهرت آبل به همه مراکز ریاضی اروپا رسید و در ردیف بزرگان ریاضی جهان قرار گرفت . ولی وی به علت گوشه گیریش از این ماجرا بی خبر ماند در اوایل سال ۱۸۲۹ مرض سلی که طی مسافرت به آن مبتلا شده بود چنان پیشروی کرد که او را از کار کردن باز داشت و در بهار همان سال آبل در سن بیست و شش سالگی درگذشت . کمی پس از مرگش کرل در یادنامه ای به طعنه نوشت که تلاش های آبل موفقیت آمیز بوده است و آبل باید به کرسی ریاضی دانشگاه برلین منصوب شود.
کرل در مجله خود آبل را چنین می ستاید «تمام آثار حاوی نشانه هایی از نبوغ و قدرت فکری حیرت انگیز است. می توان گفت که او می توانست با قدرتی مقاومت ناپذیر از همه موانع بگذرد و به عمق مسئله نفوذ کند وجه تمایز او خلوص و نجابت ذاتی وی و نیز تواضع کم نظیری بود که ارزش او را به میزان نبوغ غیر عادیش بالا می برد . » ولی ریاضیدانان برای یادآوری مردان بزرگ ریاضی روشهای مختصی به خود دارند و با گفتن معادله انتگرالی آبل ، انتگرال ها وتوابع آبل ، گروههای آبلی ، سری آبل ، فرمول مجموع جزئی آبل ، قضیه حدآبل در نظریه سریهای توانی ، و جمع پذیری آبلی از او یاد می کنند کمتر کسی است که اسمش به این همه موضوع و قضیه در ریاضیات نوین پیوند خورده باشد و آنچه وی در دوران یک زندگی عادی می توانست انجام دهد مافوق تصور است .