دید کلی
تعداد مسائلی که در مکانیک کوانتومی ، می تواند به طور دقیق حل شود ، همانند مکانیک کلاسیک خیلی محدود می باشد. در بسیاری از موارد کاربردی مورد نظر ، استفاده از روشهای تقریبی و عددی ، اجتناب است. وجود کامپیوترهای سریع ، محاسبات کوانتومی را به یک صنعت بزرگی تبدیل کرده اند. علاوه بر مکانیک کوانتومی در مسائل دیگر نیز از روشهای تقریبی استفاده کرد. به عنوان مثال در علوم ریاضی قوانین بسط متعددی وجود دارد که در صورت نیاز یک تابع را بسط داده و چند جمله اول را انتخاب می کنند.
نظریه اختلال در بیشتر شاخه های فیزیک مورد استفاده قرار می گیرد. این نظریه در مواردی به کار می رود که بخواهیم تاثیر عاملی را بروی یک سیستم مورد برسی قرار دهیم. بطوریکه مطالعه این تاثیر به روش تحلیلی ممکن نباشد. بنابراین ، ابتدا خود سیستم را در نظر گرفته و عامل موثر را به صورت یک جمله اختلالی در نظر می گیرند.
شرط اول اعمال نظریه اختلال
همانگونه از واژه اختلال بر می آید، اختلال نوعی انحراف سیستم از حالت اولیه است. به عبارت دیگر می توان گفت که عاملی یر یک سیستم اثر کرده و آن را مختل می کند. اما میزان این اختلال یا انحراف باید به اندازه ای کوچک باشد که بتوانیم نام اختلال را بر آن بگذاریم. در غیر این صورت دیگر اعمال لفظ اختلال صحیح نبوده و باید از واژه تغییر حالت نام ببریم. در نظریه اختلال نیز کوچک بودن میزان اختلال شرط اعمال این نظریه در مورد یک سیستم می باشد.
اهمیت روشهای تقریبی
برخی معتقدند که همواره می توان حل عددی با درجه دقت مورد نظر را به وسیله کامپیوترهای سریع بدست آورد. اما آنچه مسئله مهم این است که قبل از اقدام به محاسبات کامپیوتری باید مبانی حل های تقریبی را درک کنیم. بنابراین ، که چه تمایل به استفاده از روش های تقریبی داشته باشیم و چه به استفاده از محاسبات عددی معتقد باشیم ، باید به مبانی روش های تقریبی حل مسایل آشنا باشیم.
نظریه اختلال در مکانیک کوانتومی
در مکانیک کوانتومی به هر کمیت فیزیکی یک عملگر نسبت می دهند. عملگر همانطوری که از نام این واژه معلوم است عبارتست از یک عامل موثر ، که بر روی یک سیستم اثر کرده و حالت آن سیستم را تغییر می دهد. عملگرها در مکانیک کوانتومی از اهمیت فوق العاده ای برخوردارند. به عنوان مثال مشق را می توان نوعی عملگر دانست. هرگاه این عملگرد بروی یک تابع اثر کند. آن را تغییر می دهد. در مطالعه هر سیستم عملگرهای مختلفی مانند : انرژی ، اندازه حرکت خطی و ... در نظر گرفته می شود.
نتیجه تاثیر هر عملگر بروی سیستم را به عنوان ویژه حالت های آن عملگر می نامند . به عنوان مثال هر حالت سیستم از حالت انرژی را یک ویژه حالت انرژی می گویند. بدیهی است که به هر حالت انرژی یک مقدار نسبت داده می شود که این مقدار را ویژه مقدار عملگر مورد نظر می نامند. مجموعه ویژه مقادیر بسته به نوع عملگر می تواند حالت گسسته یا پیوسته داشته باشد.
بعنوان مثال عملگر اندازه حرکت خطی دارای طیف پیوسته بود. و عملگر انرژی طیف گسسته دارد . حال فرض کنید که یک سیستم کوانتومی با این مشخصات وجود داشته باشد و بخواهیم تاثیر یک عامل دیگر را بر روی این سیستم مورد مطالعه قرار دهیم . در این مرحله باید مشخص شود که آیا این عامل اختلال مستقل از زمان است یا خیر؟ بنابراین نظریه اختلال در مکانیک کوانتومی به دو قسمت زیر تقسیم می شود.
نظریه اختلال مستقل از زمان
اگر عامل اختلال وابستگی زمانی نداشته باشد، در این صورت از نظریه اختلال مستقل از زمان استفاده می گردد. به عنوان مثال اگر یک سیستم فیزیکی تحت تاثیر یک پتانسیل خارجی قرار گیرد . حال می خواهیم تاثیر این عامل اختلال را بر حالت های انرژی سیستم برسی کنیم. بنابراین عملگر کل سیستم را به صورت مجموع عملگر انرزی و عامل اختلال در نظر می گیریم. سپس حالت سیستم و نیز ویژه مقدار سیستم را به صورت سری بسط می دهیم. البته برای این که بتوانیم نظریه اختلال مستقل از زمان را بطور کامل تشریح کنیم لازم است که یه روابط پیچیده ای که در این بسطها مورد استفاده قرار می گیرد، اشاره کنیم. لذا برای احتراز از این پیچیدگی ها و ابهامات ریاضی از ذکر این روابط صرفنظر می کنیم.
نظریه اختلال وابسته به زمان
اگر عامل اختلال وابستگی زمان داشته باشد در این صورت نظریه اختلال وابسته به زمان به کار می رود. برای درک کامل این نظریه با ریاضیات عالی آشنایی داشته باشیم. و چون هدف ما ارائه روابط بغرنج ریاضی نیست، لذا به صورت مختصر این نظریه را بیان می کنیم. برای برسی تغییر حالت سیستم در اثر یک اختلال وابسته به زمان ، یک عملگر تحول زمانی تعریف می کنیم. با تاثیر این عملگر حالت سیستم در هر لحظه دلخواه را می توان محاسبه نمود. عملگر تحول زمانی با استناد از سری معروف داسیون بسط داده می شود. لازم به ذکر است که این سری در الکترودینامیک کوانتومی به کار می رود. حال می توانیم با انتخاب هر جمله از بسط فوق اختلال را تا هر مرتبه معینی که مورد نظر ما باشد مورد مطالعه قرار دهیم.
کاربرد نظریه اختلال
نوسانگر هماهنگ ساده :
با استفاده از نظریه اختلال به راحتی می توانیم تا ثیر یک پتانسیل اضافی بر نوسانگر هماهنگ را مورد مطالعه قرار دهیم.
قطبش پذیری الکتریکی اتم هیدروژن :
اگر اتم هیدروژن در یک میدان الکتریکی قرار گیرد ، تغییر انرژی حالت پایه اتم هیدروژن در اثر میدان الکتریکی را می توان به وسیله نظریه اختلال مورد بحث قرار داد. قطبش پذیری یک اتم ، بر حسب جابجایی انرژی حالت های اتمی تعریف می شود . بنابر این ، با این روش می توان قطبش پذیری را تعیین کرد.
اثر زیمن :
مطالعه تغیرات ناشی از قرار گرفتن اتمهای هیدروژن یا هیدروژن گونه (تک الکترونی) در میدان مغناطیسی یکنواخت را اثر زیمن می گویند که گاهی به نام اثر بی هنجار زیمن نیز یاد می شود. در این حالت اثرات ناشی از میدان مغناطیسی یکنواخت به عنوان یک عامل اختلال مورد برسی قرار می گیرد.
اتم هلیوم :
اتم هلیوم ، شامل دو الکترون است که به دور هسته ای با بار الکتریکی دو برابر الکترون می چرخند. در غیاب اثرات متقابل بین الکترون ها ، هوا الکترون حالتی مانند اتم هیدروزن را دارد ، ولی جفت شدن الکترونها را باید به عنوان یک اختلال برسی کرد.
شایان ذکر است که نظریه اختلال کاربردهای دیگری نیز دارد که در اینجا به خاطر احتراز از پیچیدگیهای ریاضی از ذکر آنها خودداری می شود. همچنین نظریه اختلال علاوه بر مکانیک کوانتومی در سایر شاخه های فیزیک مانند کیهان شناسی ، گرانش و موارد ذیگر نیز به کار برده می شود.