هندسه زائیده عمل و نتیجه ای از برخورد آدمی با دشواری های زندگی روزمره است و هندسه در آغاز به صورت قانون های ساده ای برای حل مسئله های عملی مربوط به اندازه گیری قطعه زمین ها، حجم ظرفها و غیره به وجود آمده. به همین ترتیب تا حدود چهار هزار سال پیش، آگاهی هایی از هندسه که به عنوان دانشی عملی و کاربردی شناخته می شد در مصر باستان روی هم جمع شد.
در دورانی بین سده ی هفتم تا سده پنجم پیش از میلاد در یونان هندسه توانست به تدریج خود را از تجربه جدا کند و موضوع مطالعه ی خود را نه حقیقت های دنیای واقع بلکه شکل های هندسی ایده آل قرار دهد. تکیه بر تجربه و حتی تکیه بر شکل، کنار گذاشته شد و گزاره ها از حالت تائید تجربی به صورت قضیه ها در آمد یعنی برای تائید درستی گزاره ها اثبات استدلالی ضرورت پیدا کرد. دلیل این وضع روشن است: با شکل های ایده آل نمی توان تجربه کرد. آن ها را نمی توان ساخت و حتی نمی توان رسم کرد تنها می شود آنها را تصور کرد.
در ضمن، خود مفهوم شکل های ایده آل بر زمینه ی همان استدلال های منطقی، که موجب نتیجه گیری های هندسی می شدند تنظیم شد زیرا در این استدلال ها شکل همچون موضوع ذهنی وارد می شد. تنظیم مفهوم شکل ایده آل در هندسه با روش ذهنی که در آن به کار می رود در واقع یک روند یگانه را تشکیل می دهد در این روند این هر دو جنبه یکدیگر را به حرکت وا می دارند و به سمت حوزه ی تفکر انتزاعی می رانند.
این روند با اینکه موضوع هندسه را از عمل جدا کرد سمت گیری خود را از خود عمل گرفته بود. به عنوان نمونه مفهوم پاره خط راست را در نظر می گیریم. مساحان مصر باستان، میخ های چوبی در زمین فرو می کردند و بین آنها ریسمان می کشیدند. در ضمن مسئله اصلی آنها فقط طول ریسمان بود و نه چیز دیگری. میخ ها و ریسمان ها را می شد نازک تر انتخاب کرد و دلیلی نداشت به این فکر نیفتند که می توان این دقت کار را باز هم ادامه داد.
به تدریج جایی را که میخ ها فرو رفته بود به عنوان نقطه ها و ریسمان ها به عنوان پاره خط های راست در نظر گرفته شد. این آغاز اندیشه نقطه و پاره خط راست بود که سرانجام آنها را به تصور درباره نقطه بدون اندازه ای و درباره پاره خط راست به عنوان "طول بدون پهنا" رسانید. زیرا نقطه تنها معرف انتهای پاره خط بود و برای پاره خط راست تنها طول آن مهم بود. به این ترتیب می توان گفت: خود عمل و تجربه بود که انسان را به سمت جدایی از تجربه و عمل دنیای واقع هدایت کرد.
تصور درباره شکل های دیگر هندسی هم به همین ترتیب به وجود آمد یعنی در نتیجه جدا شدن از همه آن چه که نسبت به شکل ها و اندازه بیگانه و تصادفی بودند زیرا در عمل تنها به همین دو عنصر یعنی شکل و اندازه نیاز بود. شکل هندسی چیزی جز تصویر و بازتاب جسم واقعی نیست ولی به صورتی که از همه ویژگی های دیگر به جز شکل، حتی از بعضی اندازه های خود جدا شده باشد.
مفهوم شکل ایده آل همراه با اندازه ها و فرم های دقیق ایده آلی این امکان را فراهم می آورد که قانون های دقیقی برای حل مسئله های عملی تنظیم کنیم و به نتیجه گیری های منطقی دقیقی برسیم. هر قانون دقیقی نیاز به مفهوم های دقیق دارد همان طور که هر کار دقیقی نیازمند ابزار دقیقی است. هندسه به عنوان ابزار حل مسئله های عملی تکامل یافت و بر این زمینه به عنوان یک دستگاه منطقی انتزاعی با یک رشته گزاره های قابل اثبات (قضیه ها) تنظیم شد. البته در این روند که در یونان و از سده ی ششم پیش از میلاد آغاز شد، علاقه های خالص ذهنی هم که زائیده زیبایی پرجاذبه خود مضمون هندسه است نقش اساسی به عهده داشت.
موضوع مستقیم مورد مطالعه هندسه، وقتی از واقعیت جدا شد، تنها شکل های ایده آل و ذهنی قرار گرفت و روش آن صورت خالص ذهنی پیدا کرد که بر اثبات استدلالی و بدون تکیه بر تجربه بود تجربه در هندسه به صورت آزمایش ها و بررسی های درونی و ذهنی درآمد: شکل های ایده آل ذهنی ساخته شد و اثبات قضیه ها درباره این شکل ها انجام گرفت.
جدایی هندسه از واقعیت های عمل روزانه وقتی خود را نشان داد که یونانی ها با آغاز از قضیه ی فیثاغورس، پاره خطهای "اندازه ناپذیر" را کشف کردند.
یونانی های و بابلی ها از خیلی پیش از فیثاغورس، با مضمون قضیه او به عنوان یک حقیقت تجربی و به عنوان قانونی از هندسه تجربی آشنا بودند. از این قانون نتیجه می شد که قطر و ضلع مربع مقیاس مشترکی ندارند: نمی توان پاره خطی که هم در قطر و هم در ضلع مربع به تعدادی درست جا بگیرد.
ولی این حکم را نباید متناقض یا تجربه دانست زیرا اندازه گیری دقیق امکان ندارد. از این گذشته اندازه گیری عملی می توانست این حکم را رد کند زیرا می توان پاره خطی را انتخاب کرد که بتواند با هر دقت لازم در قطر و ضلع مربع به تعداد درستی جا بگیرد. هیچ جسم واقعی، اندازه های دقیق مطلق ندارد هیچ طول واقعی را نمی توان با دقت مطلق اندازه گرفت زیرا جسم از ذره هایی تشکیل شده است که به هیچ وجه اندازه های دقیقی ندارند. بنابراین از دیدگاه اندازه گیری های عملی می توان گفت که قطر و ضلع هر مربع واقعی اندازه پذیرند و مقیاس مشترک دارند.
به این ترتیب اگر بر اساس حقیقت هایی از هندسه داوری کنیم که از راه تجربه به دست می آیند هندسه به نتیجه ای رسیده است که مفهومی در دنیای واقع ندارد. فیزیک دان ها به آن اهمیتی ندادند و آن را به عنوان چیزی بی معنی کنار گذاشتند ولی ریاضی دان ها آن را نگه داشتند بر مبنای آن نظریه ی نسبت کمیت های اندازه ناپذیر را ساختند (اودوکس سده چهارم پیش از میلاد) و سپس بعدها در هند و ایران این نسبت ها را به عنوان صورت تازه ای از عدد به رسمیت شناختند و بر همین زمینه بود که آنالیز ریاضی پدید آمد و تکامل یافت و هم در سده نوزدهم نظریه ی مجموعه ها پایه گذاری شد. ابتدا نتبجه تجربه با تبدیل به قضیه به صورت مفهوم دقیق انتزاعی در آمد بعد از آن نتیجه ای منطقی حاصل شد و سپس بر اساس این نتیجه بر مرحله ی بالاتری از مفهوم های انتزاعی صعود کرد.
در اینجا با روشنی خاصی ویژگی و ماهیت نه تنها هندسه بلکه تمامی ریاضیات خالص به چشم می خورد. انتزاع از ویژگی های هر دانشی است و در فیزیک معاصر هم خیلی جلو رفته است ولی در همه دانش ها انتزاع به محک تجربه زده می شود و به طور مستقل و به خودی خود ارزشی ندارند. در ریاضیات هم انتزاع ها در وجودهای ایده آل خود را نشان می دهند. موضوع هندسه عبارت است از شکل های ایده آل و نه صورت های حقیقی جسم های واقعی اگرچه شکل های هندسی بازتابی و نگاشتی از این صورت های واقعی اند و نتیجه های حاصل از آنها را می توان در جسم های واقعی به کار برد.
با آن که یونانی های هندسه را به عنوان دانش شکل های ایده آل پایه گذاری کردند ولی در هر حال، این شکل های ایده آل را متناظر با ویژگی های روابط فضایی دنیای واقعی می ساختند ولی با اندازه ها و فرمهای دقیق. فضای انتزاعی آن طور که نیوتن می فهمید بدون شک با هندسه ی اقلیدسی سازگار است. هیچ هندسه دیگری هم به اندیشه در نیامده بود (کانت، فیلسوف مشهور در پایان سده هیجدهم حتی به این اندیشه رسید که هندسه علمی حضوری و مستقل از تجربه است).
به این ترتیب در درون هندسه با تضادی مواجه می شویم: با آن که هندسه دانشی مربوط به شکل ایده آل و ساخته ذهن است بدون هیچ قیدی درباره شکل ها و رابطه های فضایی دنیای واقع به کار می رود.
با همه این ها لباچفسکی و گاوس، درباره این همخوانی دقیق هندسه ایده آل با هندسه دنیای واقعی، دچار شک شدند و امکان وجود هندسه دیگر ، هندسه نااقلیدسی را ممکن ساختند.( همان طور که می دانیم لباچفسکی و همچنین بایای آن را شناختند و تکامل دادند سپس در ابتدای سده بیستم نظریه ی نسبیت عمومی به وجود آمد که بنابر آن معلوم شد هندسه ی روابط فضایی دنیای واقعی، با هندسه اقلیدسی به صورت غیر دقیقی بیان می شود ( و این در مقیاس های خیلی بزرگ کیهانی مورد تائید قرار گرفت).
به ان ترتیب هندسه اقلیدسی از دورن تجربه زاده شد و سپس با ایده آل کردن خود از آن جدا شده بود تا حدی تناظر کامل خود را با دنیای واقعی از دست داد. با وجود این، موقعیت جدید هیچ لطمه ای به آن به عنوان بخشی از ریاضیات خالص نزد چراکه به صورت دستگاهی از نتیجه گیری های منطقی ناشی از اصل موضوع ها بود بدون اینکه به این مفهوم با روابط مربوط به دنیای واقعی بستگی داشته باشد.
تضاد درونی هندسه اقلیدسی، آنرا به دو پاره تقسیم کرد بخشی از هندسه همراه با دقت منطقی استثنایی آن در ریاضیات خالص باقی ماند و بخش دیگر آن همچون نظریه های فیزیک به صورت دانشی برای مطالعه روابط دنیای واقعی که مثل هر نظریه فیزیکی بر تجربه تکیه دارد درآمد. دقت ایده آلی هندسه اقلیدسی که به عنوان دانشی تجربی به وجود آمده بود دچار تضاد خاصی شد و به دانشی تبدیل شد که به خودی خود نمی توانست همخوانی با تجربه را تامین کند و در ارتباط با تجربه غیر دقیق از آب در آمد.
چنین تضادهایی و چنین تقسیمی از یک واحد به هندسه ریاضیات خالص و هندسه فیزیکی درست با منطق علمی سازگار است. نویسنده "دفاتر فلسفی" می نویسد: دوپاره شدن واحد و درک تضاد بخش های آن، ماهیت منطق علمی است. درستی این جنبه از مضمون منطق علمی را باید تاریخ دانش تائید کند."
و در تاریخ دانش می بینیم که هندسه واحد به دو بخش متضاد تقسیم می شود: بخشی که به ریاضیات محض مربوط است و بخش دیگری که با عمل ارتباط دارد. جدایی هندسه ی خالص ریاضی از تجربه، در نظریه ی مجموعه ها شدت می یابد. در نظریه مجموعه ها، شکل هندسی به عنوان مجموعه ای از نقطه ها ، مجموعه ای از بینهایت نقطه، در نظر گرفته می شود. رابطه این تصور، با شکل های دنیای واقع، دورتر و پیچیده تر می شود. وقتی در درون نظریه ی مجموعه ها، استدلال های منطقی را دنبال کنیم، گاهی به قضیه هایی می رسیم که از دیدگاه دنیای واقع به کلی غیرقابل درک اند. (مثلا: ثابت می شود که می توان کره را به چنان بخش هایی تقسیم کرد که با تدبیل آنها بتوان دو کره برابر با کره اصلی از این بخش ها درست کرد.)
همان طور که گفتیم در مقیاسهای کیهانی بود که نارسایی هندسه اقلیدسی کشف شد ولی اگر در زمین با توسل به نظریه نسبیت عمومی این نارسایی ها را مورد مطالعه قرار دهیم آن قدر ناچیزند که می توان از آنها گذشت. در واقع، هندسه اقلیدسی در حد تجربه یا مقیاس های زمینی سازگار است (دقت اندازه گیری تجربی ما تا یک دهم طول موج نور است و اگر بخواهیم اشتباه ناشی از کاربرد هندسه اقلیدسی را در روی زمین کشف کنیم باید دقت اندازه گیری را دست کم 100 بار بالا ببریم).
به این ترتیب، اگر نظریه ی مجموعه ها را کنار بگذاریم همان هندسه اقلیدسی می تواند شکل های دنیای واقع را هم در عمل و هم در تئوری با دقتی که در حد تجربه زمینی ما خیلی بالاست مورد مطالعه قرار دهد. ساختمان این هندسه را می توان بر پایه ی اصل موضوع ها و بدون یاری گرفتن از دیدگاه مجموعه ای با استدلال محکم قیاسی بنا کرد. البته هندسه ویژگی های دنیای واقعی و رابطه های فضایی دنیای واقع را منعکس می کند ولی به صورت ایده آلی آن. در واقع درباره مکانیک هم باید به همین ترتیب داوری کرد: مکانیک، دستگاهی از نقطه های مادی و جسم های صُلب را مورد مطالعه قرار می دهد که انعکاسی از ویژگی های پدیده های مکانیکی دنیای واقعی به صورت ایده آلی آن هاست. مگر نه این است که نه نقطه ی مادی و نه جسم مطلق صلب در واقعیت وجود ندارد این ها صورت های ایده آلی واقعیت را بیان می کنند. بنابراین میتوان گفت: رابطه ای که هندسه با دنیای واقعی دارد بدون دیدگاه مجموعه ای، بدون خط های راست نامتناهی به هیچ وجه بدتر از مکانیک نیست. ولی با انتخاب آن به عنوان یک دستگاه خالص منطقی نتیجه گیری ها به کلی از تجربه جدا می شود به این ترتیب هندسه در درون خود متضاد است به طور دائم از دنیای واقع و از جمله از رسم شکل جدا می شود و بر عکس مرتب به سمت دنیای واقع و به سمت حل مسئله های عملی رو می آورد.