فلسفه ریاضی

نویسنده: سیما مهام
ریاضیات علمی است که در خصوص اعداد و اشکال و مقادیر و ویژگی ‏های آنها و روابط بین آنها بحث می‏ کند، و ریاضیدان کسی است که در این زمینه‏ ها به تفحص و تحقیق می ‏پردازد.

تفکر در خصوص اعداد و اشکال و مقادیر و ارقام و نسبت ها و روابط بین آنها، به دورانهای بسیار قدیم برمی‏ گردد. چینی‏ ها و هندی‏ ها و مصری‏ ها و... از جمله مردمانی هستند که در این وادی قدم نهاده ‏اند و آنگاه فعالیت آنها زمینه و مقدمه‏ ای برای تدوین نظام‏ مند علم ریاضیات توسط اقلیدس در یونان گردیده است. در همان زمانی که ریاضیات قدم های نخستین را در خصوص بحث در مقادیر برمی ‏داشت و به پرسش هایی پیرامون اعداد و اشکال می‏ پرداخت، دوش بدوش این پرسش ها، سؤالات دیگری نیز در ذهن ریاضیدانان نقش می ‏بست که رابطه مستقیمی با فعالیت ریاضی آنها نداشت. لیکن از یک جهت دقیقا به علم ریاضی و مباحث آن مربوط می‏ گشت.

ریاضیدان در فعالیت ریاضی خود مثلا به اعداد و انواع اعداد و روابط بین اعداد از قبیل جمع و تفریق و ضرب و تقسیم و غیره و یا به اشکال و ویژگی‏ های هر یک از اشکال و تفاوت ها و شباهت های بین اشکال مختلف می‏ پرداخت. لیکن علاوه بر این پرسش ها و در کنار آنها سؤالات دیگری نیز برای آنها مطرح می‏ شد، از قبیل اینکه عدد چیست؟ آیا عدد در خارج وجود دارد؟ آیا اشکال ریاضی موجوداتی در ذهن ما هستند، یا در خارج از وجود ما تحقق دارند؟ آیا روش های اثبات ریاضی اعتبار منطقی دارند یا نه؟ و...

در واقع ریاضیدانان با دو دسته مستقل از پرسش ها مواجه بودند. بخشی از پرسش ها دقیقا مربوط به خود مباحث و مسائل ریاضی بود و در درون ریاضیات مطرح و مورد بحث واقع می‏ شد و بخش دیگر از پرسش ها مربوط به کل ریاضیات بودند و از بیرون به ریاضیات نظر داشتند، در این دسته اخیر از پرسش ها، گویی ریاضیات را در پیش دیدگان عقل خود نهاده ‏ایم و از بیرون به مبانی و مفاهیم و قضایا و استدلال های آن نظر می ‏کنیم و سؤالاتی کلی را در خصوص آنها مطرح می‏ کنیم:

باید گفت که پرسش های نوع اول مربوط به «ریاضیات» می‏ شود، لیکن پرسش های نوع دوم مربوط به «فلسفه ریاضیات» یا «فلسفه ریاضی» هستند.

بخشی از مباحثی که در این فلسفه ریاضی مورد کاوش قرار می‏ گیرند:

ماهیت اعداد و اشکال ریاضی چیستند؟ آیا مفاهیم ریاضی در خارج از ذهن دارای ما به ازاء مستقل و مشخصی هستند؟ اساسا رابطه مفاهیم و قضایای ریاضی با واقعیت چگونه است؟ رابطه ریاضیات با علوم دیگر از قبیل فیزیک، شیمی و زیست‏ شناسی چگونه است؟ رابطه ریاضیات و منطق چیست؟ آیا می‏توان مفاهیم و قضایای ریاضی را به مفاهیم و قضایای غیر ریاضی مانند مفاهیم و قضایای منطقی تجزیه و تحویل نمود؟ ملاک صدق و کذب یا حقیقت و خطا بودن قضایای ریاضی چیست؟ کیفیت آشنایی ذهن با مفاهیم و قضایای ریاضی چگونه می‏ باشد؟ آیا استدلال های ریاضی دارای ارزش منطقی هستند؟ آیا مفاهیم و قضایای ریاضی معنی‏ دار می‏ باشند؟ و...

در پاسخ به این پرسش هاست که مکاتب و دیدگاه های مختلفی به ظهور رسیده ‏اند و هر یک به نوبه خود بر اساس پیش فرض های خاص خودشان به بخشی از این پرسش ها پاسخ داده‏اند.

انواع فلسفه ‏های ریاضی:

در اینجا سعی ما بر این است تا به اهمّ این دیدگاه ها پرداخته و نظریات آنها را بیان کنیم.
 

1-افلاطون گرایی"platonism"

این دیدگاه چنانکه از عنوان آن مشخص است، برگرفته از نظریات فیلسوف یونانی، افلاطون می‏ باشد. به زعم افلاطونیان امور ریاضی، اشیایی واقعی و عینی هستند. اعداد و ارقام و اشکال و مقادیر ریاضی وجودی کاملا مستقل از شناخت و ذهن ما دارند، وجود این ریاضی از سنخ اشیاء فیزیکی نمی‏ باشند.

آنها خارج از فضا و زمان فیزیکی وجود دارند و اموری تغییر ناپذیر می ‏باشند. اینها اموری ازلی و خلق ناشده بوده و دگرگونی و نابودی نمی ‏پذیرند. این اشیاء هر یک به نوبه خود اشیایی معیّن بوده و خواص ویژه خود را دارند. هر پرسش معنی‏ داری درباره یک شئ ریاضی، پاسخی معیّن دارد، چه ما قادر به یافتن آن پاسخ باشیم و چه نباشیم. از نظر افلاطون، ریاضیدان مانند دانشمندی تجربی از قبیل یک زمین ‏شناس یا زیست ‏شناس است، او نمی‏ تواند چیزی از خود اختراع کند، زیرا هر چه که باید کشف شود در عالم خارج وجود دارد. کاری که وی می‏تواند انجام دهد، حداکثر «کشف» چیزهاست.

برای مثال شکلی ریاضی، مانند مثلث دارای یک وجود خاص خارجی است که در وراء زمان و مکان تحقق دارد و مانند اشیاء فیزیکی اطراف ما از قبیل سنگ و درخت و غیره دارای ویژگیهای خاص خودش می‏ باشد. ریاضیدانان با فرایند خاص ادراکی به کشف این اشکال و خواص آنها نائل می‏ آیند، همانگونه که دانشمندان تجربی در طبیعت به کشف اشیاء خاص و ویژگی‏ های آنها می‏ پردازند.

به عبارت دیگر این دیدگاه می‏گوید که ریاضیات قوانین خاص خود را دارد و ما ناگزیریم از این قوانین پیروی کنیم. همین که مثلثی قائم الزاویه به  اضلاع a و b و وتر h ساختیم، خواهیم داشت a²+b²=h². منِ نوعی نمی‏دانم که آیا عدد 1375803627 اول است یا نه، اما این را می‏دانم که اول بودن یا نبودن آن به اختیار من نیست. قبل از نوشته شدن این عدد، اول بودن یا نبودنش تعیین شده است. در بین ریاضیدانان رنه ‏توم و گودال از جمله افرادی هستند که هر یک به نوعی گرایش به این دیدگاه دارند. (1)

2-منطق گرایی"logicalism"

از نظر منطق گرایان، ریاضیات شاخه‏ ای از منطق محسوب می ‏شود. بجای آنکه منطق ابزاری برای ریاضیات باشد، منطق پیشرو ریاضیات می‏ شود، در این دیدگاه همه مفاهمی ریاضی باید در قالب مفاهیم منطقی تدوین شوند و همه قضایای ریاضیات باید بعنوان قضایای منطق بسط یابند. تمایز ریاضیات و منطق صرفا برای تسهیل در کار صورت می‏ گیرد، در صورتی که در نهایت آنچه مطرح می‏ باشد فقط منطق است. (2)

زمینه این دیدگاه را باید در آراء لایب نیتز، فیلسوف آلمانی، جست. او یکی از بنیانگذاران منطق ریاضی بشمار می آید و معتقد بود که نظام های ریاضی می‏ توانند قالب خوبی برای مبانی تفکر باشند و ریاضیات بهترین ابزار برای بیان اندیشه‏ ها و تفکرات بشمار می ‏آید. نظریه اساسی لایب نیتز این بود که حقایق ریاضی و منطق هر دو مبتنی بر اصل عدم تناقض‏ هستند. قرابت‏ ریاضیات و منطق زمینه‏ ای شد برای منطق گرایان تا معتقد باشند، تمام ریاضیات را می‏ توان بر مبنای تعدادی گزاره صادق منطقی بر مبنای اصول منطق بنا نمود. (3)

تحویل و تجزیه علمی مفاهیم ریاضی به مفاهیم منطقی توسط دد کیند (1888) و فرگه (1884- 1903) انجام شد و پئانو (1889-1908) مبادرت به بیان قضایای ریاضی به کمک نمادگرایی منطقی نمود. از اینرو، این دانشمندان پیشگامان مکتب منطق گرایی هستند.

بیان مفصل و تکمیلی ارجاع ریاضیات به منطق توسط وایتهد و راسل (1910-1913) در اثر تاریخی «اصول ریاضیات» انجام گرفت. این اثر عظیم و پیچیده در صدد آن است که به تفصیل همه ریاضیات را به منطق تحویل نماید. (4)

در توضیح این دیدگاه باید گفت، پیش از فرگه ریاضیدانان ضمن بررسی‏ های خود در مورد بهم وابستگی امور ریاضی، بصورت مبهمی این امر را نشان داده بودند که همه مفاهیم علم حساب قابل تجزیه به اعداد طبیعی ‏اند (یعنی اعداد 1 و 2 و 3 و... که در شمارش عادی بکار می‏ روند). در نتیجه مسأله عمده ‏ای که برای منطق گرایی باقی مانده بود، همانا استخراج اعداد طبیعی از مفاهیم منطقی بود. گرچه فرگه قبلا راه حلی برای این مسأله یافته بود، مع هذا راسل و وایتهد مستقل از او به نتایج همسانی رسیدند. لب این راه حل تشخیص صحیح حالت منطقی اعداد طبیعی است.

به عبارت دیگر باید گفت که اعداد طبیعی در اصل نسبت هایی منطقی هستند که نه به اشیاء بلکه به مفاهیم تعلق دارند و در زمره مفاهیم می‏ باشند. عدد خاصی مانند 3 بدین معنی است که سه شئ در تحت آن قرار می‏ گیرند. اعداد در اصل دارای مفاد و معنی منطقی هستند، مفاهیمی هستند که اشیایی در تحت مفهوم آنها قرار می‏ گیرند. قضایای ریاضیات هم اساساً از اصول متعارف منطقی به کمک قیاس منطقی قابل استخراج می‏ باشند (5) به عبارت دیگر تمامی اثبات های ریاضی می‏ توانند به یک سری عملیات مکانیکی بر روی نمادهای منطقی تحویل و تجزیه گردند. (6)

منطق گرایی اساساً از تلاش برای تعمیق و بررسی بنیادی هر چه بیشتر در مبانی ریاضیات ناشی شده است. کار منطق گراها این بود که ریاضیات را ابتدا بر اساس دستگاه اعداد حقیقی تأسیس نمودند، و آنگاه دستگاه اعداد حقیقی را بر اساس دستگاه اعداد طبیعی بنیاد نهادند و از آن پس اعداد طبیعی را که بنیاد ریاضیات به حساب می ‏آمد، مبتنی بر نظریه مجموعه‏ ها ساختند و چون عناصر منطقی در نظریه مجموعه‏ ها نقش آشکاری داشت، طبیعی است که اندیشه تحویل و ارجاع ریاضیات به منطق وارد ذهن شود، و از همین جاست که ارجاع ریاضیات به منطق به تحقق می‏ پیوندد.

فرآیند استخراج ریاضیات از منطق بدین صورت است که این جریان، ابتدا با مفاهیم اولیه و گزاره ‏های اولیه صوری که بعنوان مفاهیم و قضایای شهودی منطق می ‏باشند، آغاز می ‏شود. این مفاهیم و گزاره ‏ها بعنوان توصیف هایی موجه و فرض هایی درباره دنیای واقعی تلقی می‏ شوند، یا حداقل چنین پذیرفته می‏ گردند. آنگاه مفاهیم و قضایای ریاضی از این مفاهیم و گزاره ‏های اولیه بسط می ‏یابند.

این فرآیند با «حساب گزاره ‏ها» آغاز می‏ شود و از طریق نظریه‏ های خاصی به طرف تأسیس دستگاه اعداد طبیعی و از آنجا به سمت همه ریاضیاتی که از دستگاه «اعداد طبیعی» قابل استخراج است، پیش می‏ رود. (7)

3-صورت گرایی"formalism"

جریانی در قرن گذشته شروع شد که هدفش جدا کردن مفاهیم ریاضی محض، مانند عدد و تناظر و مجموعه ‏ای از مفاهیم ذوقی و شهودی بود که ریاضیات در طول سالهای دراز ارتباط خود با هندسه و مکانیک‏ بدست آورده بود، به عقیده صورت گرایان مفاهیم دسته اخیر آن چنان در تفکر ریاضی نفوذ کرده ‏اند که با وجود احتیاط فراوانی که در انتخاب کلمات بعمل می‏ آید، مفهوم پنهان پشت سر آنها، استدلال ما را تحت تأثیر خود قرار می‏ دهد. زیرا که اشکال کلمات در این است که دارای «محتوا» هستند. در صورتی که مقصود از ریاضیات آن است که صورت محض از تفکر بوجود آورد. اما چگونه می‏توان از کاربرد زبان بشری اجتناب جست؟ جواب این سؤال را در کلمه «علامت» یا «سمبول» (symbol) می ‏توان یافت، فقط باید زبان علامت را به کار برد که هنوز بوسیله تصورات مبهم فضا و زمان و پیوستگی که منشأ آنها ذوق و فطرت است، و استدلال محض را تیره و پیچیده می‏ کند آلوده نشده است. فقط از این راه است که می‏ توان امید داشت که ریاضیات بر پایه محکمی از منطق استوار شود.

این جریانی بود که از پئانوی ایتالیایی شروع و توسط وایتهد و راسل به آن دامن زده شد و در نهایت بوسیله دیوید هیلبرت که پایه گذار مکتب صوری گرایی است، تکمیل گردید. در این دیدگاه قصد بر این بود که ریاضیات تجدید بنا گردد و با مفروضات اساسی و روشن و با بکار بردن دقیق منطق، محلی برای ابهام‏ هایی که از زبان بشری غیر قابل تفکیک‏ اند، باقی نگذارد. (8)

طرفداران این دیدگاه بر این اعتقادند که هیچ شئ ریاضی واقعی و حقیقی وجود ندارد، وجود اشیاء ریاضی ساخته و پرداخته ذهن ریاضیدانان است. مفهوم نقطه، خط، عدد، عدد اول، پیوستگی و نظایر آنها، همه و همه ساخته ذهن آدمی‏ اند و تنها در ذهن او جای دارند. خطی که بر تخته سیاه رسم می‏ کنیم یک خط فیزیکی است، زیرا که عرض دارد. خط ریاضی را هیچ کس ندیده است. مفهوم 2 سیب چیزی غیر از عدد 2 است. عدد 2 را تاکنون هیچ کس ملاقات نکرده است. فرمول های ریاضی خود در باب چیزی نیستند و دارای محتوا نمی ‏باشند، بلکه رشته ‏هایی از نمادها و علایم هستند و شکلی صوری و ظاهری دارند، همانند قالبی می‏ مانند که فاقد محتوا می‏ باشد.

از نظر صورت گرایان، ریاضیات علم استدلال منطقی است. هر چیزی که در ریاضیات می‏توان ادعا کرد این است که قضایا بصورتی منطقی از اصول موضوعه نتیجه می‏ شوند، بنابراین قضایا مبری از خطا و نگرانی هستند، زیرا فرآیند برهان ها و استدلال ها هیچ رخنه و نقصی را باقی نمی‏ گذارند.

از نظر این مکتب برای مثال هندسه، یک ساختار استدلالی دارد، نه ساختار توصیفی. در هندسه نباید از تصاویر و دیاگرام ها استفاده کرد. (9) به عبارت کلی‏تر می‏توان گفت در واقع ما در فعالیت ریاضی خود با مجموعه ‏ای از نمادهای «بی‏ معنی» و بی‏ محتوا سر و کار داریم و ریاضیات طوری قالب‏ ریزی شده که مدعی هیچ چیزی نیست، بلکه فقط طرح مجردی است که دارای ساختار معینی می ‏باشد. (10)

در این دیدگاه ریاضیات علم نیست، زیرا موضوع مادی مورد مطالعه ندارد، مفروضاتی شهودی و بینشی ندارد تا بتواند به آنها تعبیری بدهد. ریاضیات یک زبان است. ریاضیات وسیله فرمول بندی کردن و توسعه نظریه‏ های علمی است. فرمالیسم ریاضی عنوانی است که به نظریه هیلبرت داده شده است، چرا که در فرمالیسم تکیه بر جنبه صوری ریاضیات در مقابل معنی یا محتواست و کما بیش مبتنی بر انکار محتوا برای فرمول های ریاضی است.

هیلبرت اساساً سعی داشت تا ریاضیات را بر پایه‏ های صرفا صوری و اصل موضوعی استوار سازد. در این دیدگاه، صدق یک نظریه ریاضی بدین معنی است که آن نظریه تناقضی به بار نیاورد و منجر به تناقض نگردد. (11) صورت گرایان بر خلاف منطق گرایان بنیاد ریاضیات را نه در منطق، بلکه صرفاً در مجموعه ‏ای از نمادهای صوری می‏ دانند، آنگاه ریاضیات را یک نظام صوری متشکل از احکام ریاضی که تنهادارای صورت هستند، می ‏انگارند.

4-شهود گرایی"intuitionalism"

شهود گرایی، بعنوان یک مکتب در حدود سال 1908 توسط ریاضیدان هلندی ل.ا.ی براور مطرح شد، لیکن برخی از مفاهیم شهودگرایانه قبلا توسط کسانی چون کرونکر (در سال 1880) و پوانکاره (در سالهای 1902-1906) ابراز شده بود. این مکتب با گذشت زمان تدریجاً تقویت شده و برخی از ریاضیدانان برجسته به این مکتب گرایش یافته ‏اند.

بر اساس نظر شهودگرایی، در زیربنای ریاضیات یک شهود اولیه قرار دارد. در واقع پدیدار بنیادی در تفکر ریاضی ادراک شهودی این مطلب ساده است که دو یکی، دوتا است. این شهود، شهود اساسی و ریشه ‏ای در ریاضی است که نه تنها اعداد یک و دو، بلکه کلیه اعداد ترتیبی متناهی را خلق می‏ کند.

ریاضیات در این مکتب یک فعالیت ذهنی است که حاصل آن کشف حقایق است. حقایقی که مستقل از اندیشه وجود دارند. لیکن شهودگرایی با اندیشه‏ های افلاطونی در باب ریاضیات کاملا متفاوت است، به این معنی که شهود گرایان در وصف یک وجود ریاضی بگونه ‏ای که مستقل از اندیشه خود آنها باشد حرفی نمی‏ زنند، یعنی مانند افلاطون گرایی وجودی متعالی برای اعداد صحیح و یا هر شئ ریاضی قائل نیستند. هر چند که این امر می‏ تواند درست باشد که هر اندیشه به موضوعی که مستقل از آن اندیشه وجود آن متصور است، مربوط می‏ شود. (12) در این دیدگاه چیزی حقیقی است که از طریق ریاضی اثبات‏ پذیر باشد. (13)

شهود یا معرفت شهودی در این دیدگاه بدین معنی است که اگر مفاهیم بنیادی که در توصیف مدل ها و دستگاه های ریاضی بکار می‏ روند، «واضح» و «متمایز» باشند آنگاه شهودی‏ اند، یعنی معرفت شهودی را تأمین می‏ کنند، ما در شهود دنبال وضوح ظاهری مفاهیم مقدماتی هستیم. (14)

در خصوص دیگر ویژگی‏ های این مکتب باید افزود در کتاب اصول ریاضی راسل و وایتهد، قانون طرد شق ثالث یا ارتفاع نقیضین با قانون تناقض معادل هم تلقی شده ‏اند، لیکن برای شهود گرایان چنین وضعی حاکم نیست و آنها این دو را معادل هم نمی ‏دانند و بر این اساس ارتفاع نقیضین را در شرایط خاصی ممکن می‏ دانند.

شهودگرایان بر اساس نظریات خود دست به ایجاد منطق خاص خود زده ‏اند. این کار در سال 1930 توسط ا. هیتینگ انجام گرفت و او موفق به بسط یک منطق علامتی شهودگرا گردید. بدین ترتیب ریاضیات شهودگرایی منطق خاص خود را بوجود آورده و در نتیجه منطق ریاضی در نظر این مکتب شاخه ‏ای از ریاضیات محسوب می ‏شود، (بر خلاف نظر منطق گرایان که ریاضیات را شاخه ‏ای از منطق بشمار می ‏آورند). (15)

5-واقع‏گرایی"realism" *

منظور از مکتب واقع‏ گرایی آراء و نظریات متفکران اسلامی، در خصوص مسائلی است که در فلسفه ریاضی مطرح می‏ باشند. در این نوشتار سعی بر این است که تنها بخشی از نظرات ایشان و آن هم بصورت کلی مطرح گردد. از نظر این مکتب ریاضیات در عین حال که علمی مستقل و اصیل است، در تحصیل علوم دیگر مانند فیزیک و شیمی و...نیز بکار می ‏آید و نسبت به آنها در حکم آلت و وسیله است. (16)

به عبارت دیگر ریاضیات را می‏ توان دانشی دو حیثیتی دانست، به یک اعتبار دانشی است با موضوع و روش و مبادی خاصی که از این جهت با علوم دیگر دو حوزه کاملا متمایز را می‏ سازند. از این دیدگاه علوم ریاضی دانشی مستقل می‏ باشد، اما از یک جهت دیگر همین دانش مستقل ابزار علوم و وسیله ‏ای است که نیازهای علوم دیگر را برآورده و مشکلاتشان را پاسخ می‏ گوید، علوم تجربی نیازمند محاسبه، احصاء، آمار، بررسی احتمالات و...هستند و رفع این نیاز از ریاضیات ساخته است و از همین طریق ریاضیات (*) این اصطلاح برگرفته از عنوان کتاب «اصول فلسفه و روش رئالیسم» علامه طباطبائی است. اتقان و قطعیت و قدرت پیش ‏بینی و هماهنگی را به علوم تجربی اهدا می ‏کند.

ریاضیات نه تنها برای علوم جنبه ابزاری دارد، بلکه بخشی از آن می‏ تواند نسبت به بخش دیگر حیثیت آلی و ابزاری داشته باشد. مثلا مباحث لگاریتم که شاخه‏ای از ریاضیات است، اساسا برای سهولت محاسبات ریاضی تدوین گشته است. قدرت لگاریتم بعنوان یک ابزار محاسباتی در این است که به کمک آن ضرب و تقسیم به اعمال ساده ‏تر جمع و تفریق تجزیه می‏ شوند. (17)

ریاضیات علمی مستقل از منطق بشمار می ‏آید، نه منطق را می ‏توان شاخه ‏ای از ریاضیات دانست و نه ریاضیات را می‏ توان شاخه ‏ای از منطق قلمداد نمود.

مفاهیم و گزاره‏ های منطقی اساس هیچ کاربرد بالقوه‏ای در خارج ندارد، ولی قضایای ریاضی امکان کاربردپذیری را بصورت بالقوه دارند. قرابت و نزدیکی ریاضیات و منطق از جهت اشتراک در برخی ویژگی ها از قبیل صوری بودن هر دو علم است، نه از جهت تحویل یا تجزیه ‏پذیری این دو علم نسبت به همدیگر. اینشتین در خصوص رابطه منطق با عالم خارج بیان در خور توجهی دارد که مؤید این نظرات است. او می‏ گوید: «اندیشه منطقی صرف نمی‏ تواند به شناختی نسبت به جهان تجربی بیانجامد. احکامی که از راه های صرفا منطقی بدست می‏ آید از دیدگاه واقعیت کاملا تهی است». (18)

از دیدگاه این مکتب قضایای ریاضی، قضایای شرطیه متصله هستند. به این معنی که مثلا هنگامی که اقلیدس می‏گوید: «مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است.» و در واقع مواد او آن است که «اگر فضا مستوی باشد آنگاه مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است» همه قضایای دیگر هندسه نیز چنین‏ اند، یعنی در واقع از نوع قضایای شرطیه متصله هستند.

از نظر این دیدگاه، صادق یا کاذب بودن قضایای ریاضی بر اساس ملاک صدق و کذب گزاره‏ های شرطیه متصله تعیین می‏ گردد. به این معنی که صادق بودن و یا کاذب بودن قضایای شرطی بستگی به صدق یا کذب دو جزء قضیه ندارد، بلکه مربوط به مطابقت داشتن یا نداشتن «اتصال دو جزء» قضیه با واقع می ‏باشد. مثلا قضیه شرطیه «اگر عدد دو فرد باشد، مجذور آن هم فرد است» را در نظر می‏ گیریم.

این قضیه بی‏ شک صادق است و حال آنکه جزءهای اول و دوم آن هر دو کاذب هستند. یعنی هم «عدد دو فرد است» کاذب است و هم «مجذور عدد دو فرد است» کاذب می‏باشد. صادق بودن قضیه مذکور از آنجا ناشی می‏شود که در ریاضیات به اثبات رسیده است که «مجذور هر عدد فردی، فرد خواهد بود» و چون چنین است پس ارتباط و اتصالی که میان دو جزء قضیه (مقدم و تالی) برقرار شده است، با عالم واقع مطابقت دارد. پس نظر در صدق و کذب قضایای شرطیه به این است که آیا پیوندی که میان تقدم (اگر عدد دو فرد باشد) و تالی (مجذور آن هم فرد است) لحاظ شده است، با نفس الامر مطابقت دارد یا نه؟

به تعبیر دیگر آیا به جهت منطقی مقدم، تالی را الزاماً بدنبال دارد یا ندارد. بنابراین برای صادق بودن قضیه شرطیه «اگر فضا مستوی باشد (مقدم)، آنگاه مجموع زوایای یک مثلث 180 درجه است (تالی)، نباید الزاماً مقدم صادق باشد، بلکه اگر بتوان ثابت کرد که از «فرض»مستوی بودن فضا منطقا نتیجه می‏ شود که مجموع زوایای مثلث 180 درجه است، صدق قضیه شرطیه به ثبوت رسیده است و این همان کاری است که اقلیدس به انجام رسانده است. حال اگر فضا مستوی هم نباشد این قضایا صادق هستند، مثلا فضا دارای انحنای مثبت یا منفی باشد. و رمز این سازگاری هم در این است که اساساً ریاضیات رابطه مستقیمی با عالم خارج ندارد.

قضایای ریاضی اساساً جز ذهن موطن و جایگاه دیگری ندارند. (19) در عین حال که امکان کابرد در عالم خارج را دارند. بدین صورت که اگر در فیزیک اثبات شود که جهان خارج یک جهان مسطح و مستوی است، آنگاه فرمول‏ های ریاضی می‏ توانند در چنین جهانی به کار آیند و نتایج و لوازم خاص خود را بدنبال داشته و موجب کشف برخی حقایق و انجام برخی پیش ‏بینی‏ ها گردند.

باید گفت علت کاربردپذیری ریاضیات را در خارج باید در ویژگی خاص مفاهیم ریاضی جست. چرا که مفاهیم ریاضی از سنخ مفاهیم منطقی یا معقولات ثانی منطقی نمی ‏باشند. بلکه از نوع مفاهیم فلسفی یا معقولات ثانی فلسفی قلمداد می‏ شوند که عروض آنها در ذهن است، لیکن اتصاف آنها در خارج می‏ باشد.