ویتگنشتاین در حوزه فلسفه ریاضی با پرسشهایی جدی از قبیل «ضرورت قضایای ریاضی از كجا ناشی می شود؟» «ماهیت گزاره های ریاضی در منطق» چیست؟ «ماهیت عدد چیست؟» «مبانی ریاضیات چگونه ساخته می شوند؟» و غیره روبه روست. زمانی كه او به حوزه بحث درباره مبانی ریاضیات قدم گذاشت، زمان بحث های مفصل فرگه و راسل در این باره بود. اینان هر چند به گونه ای متفاوت، معتقد بودند كه ریاضیات را می باید از اصول موضوعه ای (منطقی) استنتاج كرد.اما ویتگنشتاین این عقیده را به كنار نهاد، از نظر او گزاره های منطق، همان گوییهایی بیش نیستند پس ایده فرگه و راسل یعنی فروكاهی پایه های ریاضیات به منطق چندان موجه جلوه نمی كند.
ویتگنشتاین همچنین عقیده امثال فرگه را كه اعتقاد داشتندگزاره های ریاضی بازنمایی واقعیات عینی هستند مردود می داند و معتقد است كه اینان فریب خورده گرامر زبان اند كه شكل منطقی گزاره های ریاضی را می پوشاند. [مثال مشهور در این باره تساوی ۴=۲+۲ است كه در حقیقت بازنمایی ۱+۱+۱+۱=(۱+۱)+(۱+۱) می باشد.] از نظر وی گزاره های ریاضی همانند همانگوییها هستند و در حقیقت كاملاً صوریند. البته می توان مثلاً اعداد را برای متمایز ساختن اموری در عالم به كاربرد چنانكه می گویم «من ۱ ساعت دارم» و بنابراین خود را از وضعی كه «من ۳ ساعت دارم» یا «من هیچ ساعتی ندارم» متمایز می سازم ولی حتی در این حالتها هم جز این نیست كه آنچه من به كار برده ام تنها مراحل مختلف یك عمل صوری را باز می نمایانند.
از اینجا برخی همچون «مایكل ذامت» ویتگنشتاین را اصالت قراردادی انگاشته اند، كه این یكسره بدفهمی گفته های ویتگنشتاین است. او نمی گوید كه معادلات ریاضی صرفاً معانی ای دارند كه از این قراردادهای ما (یا ذهن ما) ناشی می شوند. او می گوید كه این معادلات نشانگر هم ارزیهایی هستند، فقط نشانگر، و نه حتی بیان كننده. معادله ۴=۲+۲ صرفاً بازنمایی واقعیت ۱+۱+۱+۱=(۱+۱)+(۱+۱) است، چیزی كه نمی توان بیان داشت تنها می توان نشانش داد. اما آیا می توان در گزاره های ریاضی شك آورد؟ اگر می توان تا چه حد؟ به عبارت دیگر گزاره های ریاضی تا چه حد یقینی هستند؟ نبوغ واقعی ویتگنشتاین در پاسخی است كه به این پرسش می دهد. او می گوید كه شك در گزاره های ریاضی فاقد هرگونه معنی است.لذا نظر امثال راسل و هیوم كه برای این امور اثباتی را طلب می كنند یكسره فهم ناپذیر است. در اینجا باید نظر ویتگنشتاین را درباره «حقیقت ضروری» ، «دلایل صدق قضایای پیشینی» و «رابطه منطق با ریاضیات» را بدانیم تا رأیی را كه دربالا آوردیم به درستی درك كنیم.
حقایق ضروری، دانستن و یقین
از نظر ویتگنشتاین برداشت امثال اصحاب حلقه وین از «حقایق ضروری» كاملاً اشتباه است.ضروری ترین حقایق، همانگوییهای منطق هستند و خارج از منطق همه چیزی تصادفی است. این تصادفی است كه «كتاب روی میز است» چون می توانست چنین نباشد. اما این كه «كتاب روی میز هست یا روی میز نیست» هرگز اتفاقی نتواند بود. این یك همانگویی منطقی است كه حتی باز بسته به كلمات تشكیل دهنده خود نیز نمی باشد و آنچه خارج از منطق است یعنی عالم تجربه عالمی متشكل از بی نهایت امكان كه همیشه [و در لحظه ای خاص] یكی از این امكانها رخ می دهد.اما بعد از همانگوییها و در نتیجه در عالم تجربه گزاره هایی هستند كه برای همه بداهت ذاتی دارند و به «قضایای پیشین» معروفند. گزاره هایی از قبیل اینكه «من دو دست دارم» ، «نام من ابوالفضل است» و غیره. پرسش این است كه آیا می توان در این گزاره ها شك كرد؟ و یا بهتر از آن این گزاره ها به كدام معنا یقینی هستند؟
ویتگنشتاین در كتاب «درباب یقین» كه محصول هیجده ماه آخر عمرش است به این پرسشها پاسخ می دهد. او می گوید كه شك تنها در جایی معنی پیدا می كند كه یقین و نیز دانستن در آنجا معنی داشته باشد. اگر راهی برای یقین موجود نباشد، شك در آن چگونه ممكن است؟ همین گونه است وقتی كه معنای آن به هیچ راه میسور نباشد. اما یقین و دانستن نزد ویتگنشتاین مقام هایی بس متفاوت دارند: «آنها دو حالت ذهنی مانند» حدس زدن «و» مطمئن بودن «نیستند آنچه اكنون جالب توجه ماست، مطمئن بودن نیست بلكه دانستن است یعنی این توجه ما را جلب می كند كه اگر اساساً صدور حكمی ممكن باشد در باب برخی گزاره های تجربی شكی نمی توان داشت.»به عبارت دیگر وقتی گزاره ای را می شناسیم آن را با گزاره ای دانسته دیگری موجه كرده ایم و این در مورد همین گزاره هم صادق است. تا جایی به گزاره «یقینی» برسیم و دیگر نتوانیم پیش رویم یعنی گزاره ای بدیهی تر از آن نتوانیم بیابیم.
به نظر ویتگنشتاین فلاسفه ای همچون «مور» و «راسل» در به كار بردن معنای «دانستن» بر سبیل اشتباه بوده اند. اینكه «من می دانم دو دست دارم» اشتباه است من این مطلب را «نمی دانم» چون گزاره ای «یقینی تر» از آن در دست ندارم كه با آن این گزاره را موجه سازم. اگر فرض كنید دلیل بیاورم كه «آنها را می بینم» برای همچو منی كه در وجود دستهایم شك كرده ام، دیده شدن آنها از كجا می تواند دلیلی قانع كننده برای وجودشان باشد؟ اگر كسی شكاك به معنی شك كننده در همه چیز باشد آنگاه باید حتی به زبان و كلماتی كه حتی در هنگام شك به یاری آنها سخن می گوید نیز مشكوك باشد و بدین گونه راه سخن گفتن به وی بسته می شود، اما او در حال سخن گفتن است (گیریم از طریق فكر كردن) پس شكاك به معنی شك كننده در همه چیز نیست و اساساً چنین شكی نمی تواند وجود داشته باشد. با این مقدمه می توان دانست كه چرا ویتگنشتاین می گوید شك در قضایای پیشینی بی مورد است. بالاتر از آن حتی پرسش «چرا قضایای پیشینی صادق اند؟» فاقد معنا است. چون اساس این پرسش بر یك بدفهمی استوار است. بدفهمی ای كه نقش قضایای پیشینی و تجربی را یكی می داند و برای به اصطلاح «اثبات» قضایای پیشینی فاكتهای تجربی طلب می كند.
درباره منشاء شناخت قطعی ما از گزاره های ریاضی هم ویتگنشتاین بر این عقیده می رود كه این قضایا تنها معیارهای قضاوت ما درباره درستی یا نادرستی محاسبات ریاضی هستند. در «یادداشتهایی درباره مبانی ریاضیات» می پرسد: قطعیت قضایای ریاضی معلول چیست؟ مثلاً قطعیتی كه به موجب آن عدد و بعد از یك می آید و سه بعد از دو و الی آخر؟ و پاسخ می دهد: در اینجا مسئله صدق و كذب مطرح نیست بلكه آنچه مهم است كاربرد داشتن این سری است.به عبارت دیگر ویتگنشتاین برای احكام ریاضی نقش گرامری قائل است. او این احكام را قواعد «بازی ریاضی» می داند. درست مانند فوتبال و بسكتبال كه قواعدی خاص خود دارند.لذا شك كردن در قضایای ریاضی هم بی معنی است این قواعد بر سازنده فرآیند استنتاج ما هستند و نه چیزی بیشتر. درست همان طور كه شك كردن به قواعد بازی فوتبال بی مورد است. این مثال البته مثالی نیست كه منظور ویتگنشتاین را به وجهی كامل روشن كند چون قواعد بازی فوتبال قرارداد هستند در صورتی كه چنانكه پیش از این هم گفتیم ویتگنشتاین را نمی توان طرفدار مكتب اصالت قرار داد دانست.ویتگنشتاین در «رساله» در گزاره ۲۲/۶ می گوید: «منطق جهان كه در گزاره های منطق در همانگوییها نمایان می گردد، در ریاضی به شكل معادلات در می آید.»
پس اینكه گزاره های ریاضی اثبات پذیرند به چه معنا تواند بود؟
ویتگنشتاین باز هم در رساله می گوید كه این معنایی دیگر جز این ندارد كه می توان نسبت به درستی آنها یقین حاصل كرد بی آنكه لازم آید آنچه را كه بیان می دارند با واقعیتها مقایسه نمود تا درستی آنها معلوم گردد. به عبارت دیگر ریاضیات را باید همواره به معنای «بازی ریاضی» در نظر گرفت كه درون این بازی فرآیندهایی رخ می دهد و آنچه همواره باید در نظر داشت همین درونی بودن این فرآیندهاست. لذا «یقین» در ریاضیات هم تنها در همین ساختمان درونی معنی می دهد و نه خارج از آن.
ماهیت ریاضیات و منطق
ویتگنشتاین در گزاره ۲۳۴/۶ رساله فاش می گوید: «ریاضیات یك روش منطق است» و در توضیح همین گزاره در گزاره ۲۳۴۱/۶ می گوید: «اساس روش ریاضی این است كه با معادلات كار می كند. درواقع بر مبنای این روش است كه باید هر گزاره ای ریاضی بنفسه قابل فهم باشد.»اما باید دانست كه این برداشت ویتگنشتاین هرگز منطبق بانظر فرگه و راسل كه ریاضیات را از منطق استنتاج می كردند نبود. از نظر گاه او ریاضیات با منطق رابطه ای درونی دارد. درواقع گزاره های ریاضیات را می توان با اعمالی منطقی از یكدیگر استنتاج كرد.
در حقیقت روش ریاضی كه وسیله حصول معادلات می شود روش جانشین سازی است. زیرا معادلات مبین جانشین شوندگی دو عبارتند و ما با تعویض عبارات بنابه اقتضای معادلات، به عبارتهای دیگر، از پاره ای معادلات به معادلات نوین دست می یابیم.اما ماهیت دقیق خود منطق چیست؟ ویتگنشتاین به این پرسش در گزاره ۱۳/۶ رساله پاسخ می دهد: منطق آموزه نیست، بلكه تصویر آینه ای جهان است، منطق استعلایی است. اما مهمترین فرق منطق با علوم تجربی در ارزش گزاره های آنها است. در منطق ارزش تمام گزاره ها یكسان است، این طور نیست كه بعضی از آنها مقدماتی و برخی دیگر از این گزاره های مقدماتی مشتق شده باشند. یك همانگویی خود نشان می دهد كه یك همانگویی است، احتیاجی به مقدمه و اثبات نیست همچنین است مثلاً درباره تناقض (گزاره ۱۲۷/۶ رساله.)اما در علوم تجربی چنین نیست در این علوم ارزش گزاره ها متفاوت است. برخی مقدمه اند و برخی نتیجه و آنها كه مقدمه اند باید استحكام بیشتری نسبت به نتایج داشته باشند تا بتوانند آنها را موجه كنند.
ویتگنشتاین همچنین درباره «قوانین استنتاج» كه فرگه و راسل بحث آنها را پیش كشیده اند اصلاً با آنها همداستان نیست. از نظر او اصلاً این قوانین زائد و حاصل بدفهمی هستند. بدفهمی رابطه منطق و علوم دیگر. از نظر ویتگنشتاین چنانچه گزاره q (به نحو منطقی) از p استنتاج شود. این نحو استنتاج را می توان فقط از خود این دو برداشت كرد و به چیزی بیشتر احتیاجی نیست. از نظر ویتگنشتاین طرح این قوانین در حكم تلاش برای اثبات منطق است كه خود بی معنا است چون آنچه را كه می خواهیم ثابت كنیم خود پیش فرض همه چیز است، آینه ای است كه جهان را به ما باز می نمایاند.
ویتگنشتاین سپس بر برداشت فرگه و راسل از مسئله نماد پردازی منطقی می تازد. از نظر وی اگر یك نمادپردازی منطقی درست بنا كنیم، باری نشانه ها معنی خود را تنها با كاربردشان نشان می دهند و لذا هرگز مجبور نخواهیم شد ابهامی را رفع كنیم و اگر مجبور شویم چنین كنیم، دستگاه منطقی ما فاقد كارآیی یك دستگاه منطقی واقعی است. این تقریباً همان قاعده مشهور ویلیام اكام (۱۳۴۹-۱۳۰۰ م) است كه می گوید: یك نشانه منطقی تنها زمانی معنی دارد كه كاربرد داشته باشد. ویتگنشتاین در گزاره ۳۲۰۸/۳ رساله این اصل را می آورد این رویكرد ویتگنشتاین بر عكس فرگه و راسل به صرفه جویی در مصرف نشانه های منطقی می انجامد.ویتگنشتاین می گوید كه در تألیف یك كلام منطقی هرگز نباید معنی علامتی خاص نقش ایفا كند بلكه این تألیف كلام (نحو منطقی) باید بدون سخن گفتن از معنی یك علامت خاص ممكن باشد.
مفهوم عدد
یكی از جالبترین آرا ی ویتگنشتاین به تلقی وی از مفهوم عدد در گزاره ۰۲/۶ رساله مربوط می شود. از نظر ویتگنشتاین اگر بخواهیم تصوری از «عدد» داشته باشیم می باید آن را همانند «عملی» كه با آن یك گزاره از گزاره دیگر منتج می شود تصور كنیم. پس هر عدد نماینده یك سری عملیات است.در اینجا به تمایزی جدی مابین آراء ویتگنشتاین و نظریات امثال فرگه برمی خوریم. از نظر فرگه اعداد هم اسامی اشیاء هستند و لذا كاملاً می توانند مانند اسامی اشیاء مثلاً «موصوف» واقع شوند. لذا از نظر فرگه كاملاً با معنی است كه بگوییم «۵ چاق است» یا «۵ بزرگ است» اگرچه ممكن است این گزاره ها غلط باشند. اما از نظر ویتگنشتاین هر دو این گزاره ها بی معنی اند. چرا كه عدد یعنی مرحله ای خاص از مراحل تكرار یك عمل صوری و نه اسم یك شیء.
نقد
چنانكه دیدیم ویتگنشتاین شك در احكام و گزاره های ریاضی را از آن جهت بی معنی انگاشت كه آنها را صرفاً قواعد «بازی ریاضی» یا «گرامر استنتاج و محاسبه» به دیده گرفت.به عبارت دیگر قبول این احكام فقط قبول یك مهارت عملی برای محاسبه است و اصلاً ربطی به شناخت ما از نتایج كاربردی این احكام ندارد بلكه درواقع مقدم بر آن است. این نظرگاه ویتگنشتاین اگرچه بدیع و غیرقابل منتظره است، ولی نتیجه اش مجرد انگاشتن بیش از حد ریاضیات بود. بدین گونه ویتگنشتاین از توجیه مسئله كاربرد ریاضیات در علوم تجربی و در جهان واقع و بخصوص در فیزیك بازماند. نقد جدی بر آراء ویتگنشتاین در همین موضع صورت می گیرد. اگر ریاضیات آنچنان كه او گفته بود صرفاً یك ساختمان (یابازی) مجرد با تعدادی قواعد و اصول باشد پس چگونه در چنان علومی كاربرد تواند داشت؟
انتقاد بعدی در تلقی ویتگنشتاین از ماهیت ریاضیات است، چنانكه دیدیم وی معتقد بود كه ریاضیات یك روش منطقی است و نیز اینكه منطق بازنمای جهان است پس ریاضیات هم كه با منطق رابطه ای درونی دارد باید ربطی به بازنمایی جهان داشته باشد. ویتگنشتاین در این باره توضیحی نمی دهد و مسئله را مسكوت می گذارد.فلسفه ای كه ویتگنشتاین تألیف نمود تأثیر بسزایی بر روند فلسفه داشت. او توانست اعضای حلقه وین، استادش راسل و بسیاری دیگر از نحله های فكری غرب را از شیوه جالبش در پرداختن به فلسفه متأثر كند. هرچند كه آنچنانكه خود ویتگنشتاین می گوید كار اصلی او در حوزه فلسفه ریاضیات بوده اما نظریات عجیب و بدیعش در این محدوده باعث مطرود شدنش توسط فلاسفه سنتی ریاضیات گردید. معلوم نیست كه این باعث سرخوردگیش شد یا نه ولی كسی كه اعتقاد دارد كه جواب تمام مسائل فلسفه را در اساس یافته نباید كسی باشد كه این گونه برخوردها از پا دَرَش اندازد.