تصویر کوهن از سیر تحول یک علم را می توان به وسیله طرح بی پایان زیر خلاصه کرد:
پیش علم - علم عادی - بحران - انقلاب - علم عادی جدید - بحران جدید
ویژگی عمده نظریه وی تأکیدی است که بر ممیزه انقلابی تحولات علمی دارد؛ به طوری که طبق آن، انقلاب متضمن طرد و رد یک ساختار نظری و جانشینی ساختار ناسازگاری دیگر است. ویژگی مهم دیگر، نقش پراهمیتی است که ممیزات جامعه شناختی جوامع علمی در نظریه کوهن ایفا می کند. از زمان انتشار کتاب ساختار انقلابهای علمی همواره این پرسش مطرح بوده که آیا تصویر کوهن از تاریخ علوم طبیعی در مورد ریاضیات نیز به کار بردنی است. به نظر می رسد پاسخ منفی باشد؛ زیرا واضح است که طبیعت ریاضیات از مهم ترین ویژگی تصویر کوهن از توسعه یک علم، یعنی "انقلاب " پیروی نمی نماید. در این مقاله سعی شده تا نشان داده شود که گذر از هندسه اقلیدسی به هندسه نااقلیدسی انقلابی کوهنی در ریاضیات است. البته این بدان معنا نیست که تمامی مقوّمات تصویر کوهن عیناً در حوزه ریاضیات صادق است؛ بلکه دو ویژگی مهم آن، یعنی ممیزه انقلابی تحول علمی و ممیزه جامعه شناختی علم، درحوزه معرفت ریاضی نیز صدق می نماید. به عبارت دیگر, انقلاب کوهنی در ریاضیات واقعاً امکان پذیر است، هرگاه ما با یک پارادایم کوهنی در ریاضیات سروکار داشته باشیم که مورد پذیرش جامعه علمی قرار گرفته باشد. تغییر این پارادایم، انقلاب کوهنی را در پی خواهد داشت.
در تصویر کوهن از شیوه تحول یک علم، پارادایم مشتمل است بر مفروضات کلی تئوریک، قوانین، فنون، کاربردها و ابزارآلات که اعضای جامعه علمی خاصی را بر می گیرند. پژوهشگران درون یک پارادایم، خواه مکانیک نیوتنی باشد؛ خواه علم الابصار موجی و یا شیمی تحلیلی و یا هر چیزی دیگر به امری مشغول اند که کوهن آن را "علم عادی " می نامد. کوشش دانشمندان عادی جهت تبیین و تطبیق رفتار برخی از چهره های مربوط به هم عالم طبیعت که به واسطه نتایج آزمایش آشکار گردیده، پارادایم را تفصیل و توسعه می بخشد. ضمن این کار، آنها لاجرم مشکلاتی را تجربه خواهند کرد و با مشاهدات خلاف انتظار یا اعوجاجهای آشکاری مواجه خواهند شد. اگر مشکلاتی از آن نوع را نتوان فهم و رفع نمود, وضعیتی "بحرانی " به وجود خواهد آمد. بحران هنگامی مرتفع خواهد شد که پارادایم کاملاً جدیدی ظهور نماید و مورد حمایت روزافزون دانشمندان واقع شود تا جایی که پارادایم مسأله انگیز اولیه در نهایت مطرود شود. پارادایم جدید، حاوی نویدهایی است و مشکلات ظاهراً فایق نیامدنی ندارد و از این پس، فعالیت علمی عادی جدید را هدایت می کند تا اینکه آن نیز با مشکلاتی جدی رو به رو شود و بحران جدیدی بزاید که به دنبال آن، انقلاب جدیدی ظاهر شود. به نظر "چالمرز" ویژگی عمده چنین طرح بی پایانی درباره تحول یک علم،"تأکیدی است که بر ممیزه انقلابی پیشرفتهای علمی دارد؛ به طوری که طبق آن، انقلاب متضمن طرد و رفض یک ساختار نظری و جانشینی ساختار ناسازگار دیگری باشد". (چالمرز، 1374، ص 13).
به طوری که کوهن پارادایم های پیش و پس از انقلاب را "قیاس ناپذیر" می داند. معمولاً گمان می شود در زمان یک انقلاب علمی، معیارهایی که دانشمندان در ارزیابی رجحان یک نظریه بر نظریه رقیب استفاده می نمایند، عبارت اند از: "دقت پیش بینی به ویژه پیش بینی کمّی، توازن بین موضوعات روزمره و غامض، و تعداد مسائل مختلف حل شده " (kuhn;1970,p.206), اما کوهن معتقد است معیارهایی از این قبیل ارزشهای جامعه علمی را تشکیل می دهند و شیوه هایی که این ارزش ها به مدد آن تعیین می شود "باید در تحلیل نهایی، روان شناختی یا جامعه شناختی باشد؛ به عبارت دیگر، باید توصیف یک نظام ارزشی یا یک ایدئولوژی باشد, همراه با تحلیلی از نهادهایی که به واسطه آنها آن نظام انتقال و استحکام می یابد" (lakatos and musgrave; 1970, p.21) "هیچ معیاری بالاتر از موافقت جامعه مربوطه نیست " (kohn; 1970, p.94) کوهن این ادعا را با مثالهایی از تاریخ علم در حوزه هایی همچون فیزیک، نجوم و شیمی درکتاب ساختار انقلابهای علمی بیان می کند.
پرسشی که مطرح می گردد این است که آیا این گونه تحول را درحوزه های دیگر علوم نیز می توان دید؟ در این میان، ریاضیات از اهمیت بسزایی برخوردار است؛ زیرا معمولاً تصور می شود که ریاضیات صرفاً یک سری مدلهای مجرد منطقی به همراه علایم صوری است که به دور از ویژگیهای روانی و شخصیتی ریاضی دانان و خصوصیات و تعلقات جامعه ای که در آن زندگی می کنند، در ذهن ریاضی دان شکل می گیرد و هنگامی که در جامعه ریاضی مطرح می شود، ریاضی دانان به دور از تعلقات گروهی، اجتماعی و تعهدات متافیزیکی که متأثر از نوع نگرش جامعه ای است که در آن زندگی می کنند، به ارزیابی آن می پردازند و باتوجه به معیارهایی چون پیروی از اصول منطق و سازگاری میان اصول موضوعه و قضایا، درباره صحت و سقم آن تصمیم می گیرند. همچنین ریاضی دانان انسانهایی معقول اند که تنها به صحت و درستی منطقی یک ساختار ریاضی می اندیشند و اگر نظریه ای ریاضی این شرط را برآورده نماید, مورد پذیرش جامعه ریاضی قرار خواهد گرفت.
در این مقاله سعی شده با ارائه نمونه ای از تاریخ هندسه، یعنی انقلاب نااقلیدسی، اولاً پارادایمی بودن هندسه اقلیدسی در مدت بیش از دو هزار سال _ از یونان باستان تا قرن نوزدهم _ نشان داده شود و ثانیاً اعوجاج بودن اصل توازی برای پارادایم هندسه اقلیدسی در این دوران بررسی گردد و نشان داده شود که چگونه این اعوجاج سرانجام به بحرانی در این حوزه در اوایل قرن نوزدهم می انجامد و نهایتاً انقلاب نااقلیدسی را در پی می آورد. ثالثاً نشان داده می شود که چگونه جامعه ریاضی دانها براساس ارزشها، باورها و تعهدات متافیزیکی خود, در رویارویی با هندسه جدید, واکنشی خصمانه بروز می دهند و چگونه سرانجام شهرت و اعتبار ریاضی دانی که از هندسه نااقلیدسی حمایت می کند - ونه صرفاً سازگاری منطقی هندسه نااقلیدسی - سبب پذیرش هندسه جدید می گردد.
1. اصول (Elements)
سده چهارم پیش از میلاد, مسیح ناظر شکوفایی آکادمی علوم و فلسفه افلاطون بود. تقریباً تمامی کارهای مهم ریاضی این دوره به وسیله دوستان یا شاگردان افلاطون انجام شده است. تأثیر افلاطون بر ریاضیات، معلول هیچ یک از کشفیّات ریاضی وی نبوده است؛ بلکه به سبب این اعتقاد شورآمیز وی بود که مطالعه ریاضیات عالی ترین زمینه را برای تعلیم ذهن فراهم می آورد و از این رو, در پرورش فیلسوفان و کسانی که باید دولت آرمانی وی را اداره می کردند، نقش اساسی داشت. از نظر وی "ریاضیات وضع واسطه ای بین صور و اشیا دارند" و " صفات محسوس اجسام به ساختمان هندسی ذرات آنها بستگی دارد. این ساختمان هندسی به وسیله ساختمان سطوح آنها متعین می شود و ساختمان سطوح آنها بوسیله ساختمان دو نوع مثلث متساوی الساقین قائم الزاویه و قائم الزاویه مختلف الاضلاع، که از آنها ساخته شده اند."(کاپلستون، 1368, ص 225). از این رو هندسه برای او اهمیت بسیار داشت. این اعتقاد، شعار معروف او را بر سر در آکادمی اش توجیه می کند: «کسی که هندسه نمی داند داخل نشود».
اقلیدس یکی از شاگردان مکتب افلاطون بود. وی سعی کرد ریاضیاتی را که توسط فیثاغورسیان شروع شده بود و بعداً بقراط، ائودوکسوس، تئاتیتوس و دیگران مطالبی به آن افزوده بودند، در کتابی به نام اصول گردآوری نماید. ارزش عمده این اثر در گزینش ماهرانه قضایا و دادن ترتیب منطقی به آنهاست. اقلیدس در اصول سعی کرد تا نمونه ای از تفکر اصل موضوعی را ارائه نماید. برای اینکه گزاره ای در یک دستگاه قیاسی اثبات شود، باید نشان داد که این گزاره پیامد منطقی لازم چند گزاره است که قبلاً به اثبات رسیده اند. گزاره های اخیر نیز خود باید به کمک گزاره هایی که قبلاً اثبات شده اند ثابت شوند و به همین ترتیب تا آخر. چون این تسلسل را نمی توان به طور نامحدود ادامه داد، در ابتدای امر، باید مجموعه محدودی از گزاره ها پذیرفته شوند. این گزاره های بدواً پذیرفته شده، "پوستولاها" یا "اصول موضوعه" مبحث نامیده می شوند و تمام گزاره های دیگر مبحث باید به طور منطقی به وسیله آنها ایجاب شوند. وقتی که گزاره های یک مبحث بدین صورت منظم شوند، گفته می شود که مبحث در شکل اصل موضوعی عرضه شده است. یکی از مهم ترین کارهای اقلیدس در کتاب اصول, بیان هندسه در قالب یک سیستم اصل موضوعی بود. در ساختن چنین سیستمی یک سری اصطلاحات هندسی همچون "نقطه " و "خط " به کار می رفتند که وی نهایت سعی خود را به کار گرفت تا همه این اصطلاحات را تعریف نماید. مثلاً او نقطه را "چیزی که هیچ جزء ندارد" و "خط " را "طولی بدون پهنا" تعریف نمود. همچنین او "خط مستقیم " را چنین تعریف می نماید: "خطی که به نحوی هموار بر نقاطی که برخود آن هستند قرار داشته باشد".
پنج اصل معروف وی در باب هندسه عبارت اند از:
اصل اول: از هر نقطه می توان خط مستقیمی به هر نقطه دیگر کشید.
اصل دوم: هر پاره خط مستقیم را می توان روی همان خط بطور نامحدود امتداد داد.
اصل سوم: می توان دایره ای با هر نقطه دلخواه به عنوان مرکز آن و با شعاعی مساوی هر پاره خط رسم شده از مرکز آن ترسیم کرد.
اصل چهارم: همه زوایای قائمه با هم مساوی اند.
اصل پنجم: اگر خط مستقیمی دو خط مستقیم را قطع کند, به طوری که مجموع زوایای داخلی یک طرف آن کمتر از دو قائمه باشد، این دو خط مستقیم، اگر به طور نامحدود امتداد داده شوند، در طرفی که دو زاویه مجموعاً از دو قائمه کمترند، همدیگر را قطع خواهند کرد.
اقلیدس با استفاده از این تعاریف و اصول، کلیه قضایای هندسی را ثابت کرد. ج. جیکسترویز (E.J.Dijksterhuis) در کتاب ارزشمند مکانیکی کردن تصویر جهان (The Non-Euclidean Revolution) صفحات 50 تا 52 سه عامل مهم را بیان می کند که سبب پذیرش و اقبال شگفت آور به کتاب اصول شد. وی معتقد است اولاً, اقلیدس در مقاله چهارم کتاب اصول، بیان استادانه ای از نظریه ائودوکسوس در مورد تناسب ارائه می نماید. این نظریه قابل استفاده در کمیت های نامتوافق و متوافق، "رسوایی منطقی " ناشی از کشف اعداد ناگویا به وسیله فیثاغورس را حل کرد که یکی از دستاوردهای مهم ریاضیات یونانی بود و الگویی برای ارائه راه حلهای مسائل دیگر قرار گرفت. ثانیاً, ریاضیات یونانی فاقد نمادهای مناسب ریاضی بود. آنها از حروف برای نمایش اعداد استفاده می کردند و معادلات جبری را با پرگویی بسیار بیان می کردند. اقلیدس در مقاله پنجم اصول که نظریه ائودوکسوس درباره تناسب را در هندسه مسطحه به کار می برد، راه حل هندسی برای معادلات درجه دوم ارائه می کند. این روش هندسی بسیار مختصر و موجزتر از روشهای جبری بود که با پرگویی های بسیار همراه بود. ثالثاً, از همه مهم تر نوع نگرش حاکم بر حوزه ریاضیات و فلسفه بود. این حوزه ها به شدت تحت تأثیر فلسفه افلاطون بودند. مطابق نگرش وی، هندسه درباره "مثل " عالم بالا صحبت می کند. اگر ما در مواردی در زندگی روزمره، ناگزیر به استفاده از نمایش اشکال هندسی هستیم، تنها برای تذکر به آن مثل می باشد.
افلاطون چنان مقامی برای هندسه قائل بود که وقتی در رساله منون برای وضوح بخشیدن به یکی از آرای خویش، یعنی نظریه تذکر، به ریاضیات توسل می جوید، از قضیه ای استفاده می نماید که قابل نمایش هندسی است. این عوامل سبب شد به محض اینکه اصول پدید آمد, نهایت توجه را به خود جلب کرد؛ به طوری که هاورد. و. ایوز (Howard W.Eves) مورخ ریاضی امریکایی، اصول را یکی از خط سیرهای مهم تکامل ریاضیات در یونان می داند. وی می گوید: "در تکامل ریاضیات طی 300 سال اول ریاضیات یونانی, سه خط سیر مهم و متمایز را می توان تشخیص داد؛ ابتدا، بسط مطالبی است که مآلاً در اصول مدون شد... خط سیر دوم, شامل بسط مفاهیمی است در رابطه با بی نهایت کوچکها... و سومین مسیر تکامل، مربوط به هندسه عالی یا هندسه منحنی هایی به جز دایره و خط مستقیم و سطوحی غیر از کره و صفحه است » (ایوز، 1368، ص 101).
مقام رفیعی که هندسه به واسطه اصول و نگرش افلاطونی به ریاضیات یافت، چنان بود که تفکر علمی دانشمندان حوزه های علم الابصار و علم مکانیکی نیز عادتاً به کمک اشکال فضایی صورت می گرفت.
2. عصر هندسه اقلیدسی
در قرون وسطا, ریاضیات مجرد و بالاخص هندسه چندان توسعه ای نیافت. بلکه صرفاً به جنبه های علمی این موضوع که با تجارت و شهرسازی مربوط می شد اکتفا می گشت. اما در اواخر قرون وسطا کاوشهای ریاضی جان تازه ای گرفت. لئوناردو داوینچی در مکانیک و هیدرولیک و اپتیک، آزمونهای وسیعی به عمل آورد، همه مسبوق بدین فرض که نتایج متقن را باید به زبان ریاضی بیان کرد و به نمایش هندسی باز نمود. در قرن بعد، یعنی قرن ظهور کتاب دوران ساز کپرنیک، دیگر همه متفکران بزرگ در مکانیک و سایر علوم فیزیکی _ ریاضی به روش هندسی گردن نهاده بودند. تارتاگلیا در کتاب علم جدید (Tartaglia: Nova Scienza) خود، که به سال 1537 انتشار یافت، همین روش را در حل مسأله سقوط اجسام و برد نهایی پرتابه ها به کار برد و ستی ونوس (Stevinus) (1630-1548) طرح خاصی را به کار گرفت تا به کمک خطوط هندسی، نیرو و حرکت و زمان را مصور سازد.
در سده های پانزدهم و شانزدهم، نمادهای جبری رواج یافتند؛ اما این سبب کاسته شدن از اوج و اعتبار هندسه نشد. برای نمونه، باید به کاوشهای ریاضی در این دو قرن که درباره تئوری معادلات بود، اشاره نمود. این کاوشها درباره یافتن روشهایی برای تبدیل و ساده کردن (Reduction) و حل معادلات درجه دوم و سوم بود. مثلاً پاچیولی (Pacioli) متوفی به حدود سال 1510، بیشتر به دنبال آن بود که علم بالنده جبر را در تحقیق خواص اشکال هندسی به کار گیرد. مسائلی که با آنها سروکار داشت از این قبیل بود؛ شعاع دایره ای که در مثلثی محاط شده، چهار اینچ است؛ قطعاتی از یک ضلع که در دو طرف نقطه تماس (دایره و مثلث) قرار دارند, شش اینچ و هشت اینچ است؛ طول دو ضلع دیگر را تعیین کنید. دانشجویان این روزگار، با یک معادله ساده جبری مسأله را حل می کنند, ولی پاچیولی جز از طریق یک ترسیم پیچیده هندسی، بدین منظور نائل نمی آمد و از جبر فقط برای محاسبه طول پاره خطهای منظور بهره می جست. به همین نحوه، برای حل معادلات درجه دوم و سوم نیز در قرن شانزدهم همواره از روشهای هندسی بهره می جستند. بال (Ball) نمونه دل پذیری را ذکر می کند که فی المثل کاردانوس (Cardanus) برای حل معادله درجه سوم r =qx+ 3x از چه راه پر مشقتی عبور می کرد.
رفته رفته امکانات وسیعی که در نمادهای جبری نهفته بود از قوه به فعل رسید و ریاضی دانان با روشهای پیچیده تر آشنایی یافتند، در عین اینکه هنوز هم به نمایش هندسی تحقیقات خویش متکی بودند. به زمان کاردانوس که می رسیم، مسائل مبتلا به متفکران به درجه ای از غموض و ترکب می رسد که معادلات مربوط، محتاج تبدیلات و به خصوص ساده کردنهای مکرر، با حفظ مقدار اصلی می شوند و به زبان هندسی، لازم می آید که اشکال مرکب را به اشکال ساده تر برگردانند، به طوری که یک دایره یا مثلث ساده, جانشین اشکال مرکب و متعدد گردد. این کار، غالباً کار پیچیده ای هم بود و از این رو طرحهای مکانیکی مختلفی تدبیر کرده بودند تا به کمک ریاضی دانان آید. گالیله در سال 1597 یک راهنمای هندسی منتشر کرد, متشکل از یک رشته قواعد مشروح برای تبدیل اشکال بی قاعده و یا ترکیب چند شکل باقاعده و تبدیل آنها به یک شکل با قاعده و اعمال این قواعد در حل مسائل خاصی چون به دست آوردن جذر اعداد، واسطه هندسی و امثال آنها. به کارگیری روشهای ساده کردن و تبدیل اشکال هندسی از مشخصات ریاضیات قرن شانزدهم است.
افلاطونی گری شایع و نیمه نهان آن عصر, جهان را جوهراً هندسی می دید و مقدمات بسیط و واپسین آن را ابعاض محدود فضا می دانست و کلاً آن را مجسم یک نظم هندسی ساده و زیبا می دانست. تمام متفکران عهد کهن و قرون وسطا, فضای هندسی و فضای واقعی عالم را یکی می دانستند. برای فیثاغوریان و افلاطونیان، وحدت این دو فضا, خود نظریه ما بعد الطبیعی مهمی بود. دیگر مکتبها هم بر همین باور بودند، لیکن مدلولات کیهان شناختی آن را به طور شایسته مورد توجه قرار نمی دادند. نزد اقلیدس، وحدت فضای فیزیکی و فضای هندسی جزو مسلمات بود. کتاب اول اصول، اصلهای هشتم و دهم و نیز قضیه چهارم و کتاب یازدهم، قضایای سوم و هفتم و به خصوص کتاب دوازدهم، قضیه دوم شاهدی بر این ادعا هستند. از این رو نجوم، شاخه ای از هندسه شمرده می شد و در واقع، آن را هندسه افلاک می دانستند.
ادوین آرتور برت در کتاب ارزشمند مبانی مابعدالطبیعی علوم نوین معتقد است که همین تصور از نجوم، یکی از عوامل بسیار مهمی بود که کپرنیک را واداشت تا نظریه خورشید مرکزی را ارائه دهد: "حال که علم نجوم در اصل همان علم به هندسه افلاک دانسته می شد و حال که به روشهای هندسی، معادلات جبری را ساده تر می کنند و یا به اشکال دیگری بر می گردانند، چه اشکالی دارد همین روشهای ساده کردن و تبدیل کردن را در علم نجوم هم به کار گیریم. اگر علم نجوم پاره ای از ریاضیات است، باید نسبت مقادیر ریاضی در آن هم جاری باشد؛ یعنی حرکاتی که بر روی نقشه سماوی به اجرام نسبت می دهیم، باید یکسره نسبی باشد و از لحاظ انطباق با واقع، هر نقطه ای را بتوانیم به منزله مرجع نظام فضایی خود برگزینیم. کپرنیک درست به همین شیوه، هیأت جدید را براندیشید و نظام خورشید مرکزی را از آن جهت که ساده تر و موزون تر از نظام زمین مرکزی است برگزید (برت، 1369، ص 38 و 40).
این نگرش هندسی به هستی و تعهدات متافیزیکی متعاقب آن، هندسه را همچون پارادایمی حاکم بر پژوهشهای علمی و تحولات فکری فلسفی این عصر درآورده بود. این پارادایم به دانشمند می گفت که در مواجهه با مسائلی که در پژوهشهای خود با آن روبه رو می شوند، باید به جستجوی یافتن کدامین پاسخها باشند. پاسخهایی که بتوان آنها را در قالب مفاهیم و اصطلاحات هندسی صورت بندی نمود و با نظریه هندسه اقلیدسی متلائم کرد. گالیله می گفت: "در این کتاب بزرگ که همواره پیش چشم ماست، یعنی کتاب طبیعت، حکمت را نگاشته اند؛ لکن ما به درک آن نایل نمی شویم، مگر اینکه بدانیم به چه زبان و علایمی آن را نوشته اند. این کتاب را به زبان ریاضی نوشته اند و علایم آن هم عبارت است از مثلث، دایره و سایر اشکال هندسی. بدون کمک این زبان و این علایم، محال است که یک کلمه از این کتاب را دریابیم؛ و بدون درک این کتاب، آدمی در هزار تویی تاریک، سرگردان و یاوه گرد خواهد شد» (برت، 1369، ص 66).
با ظهور نیوتن، روشهای جبری تکامل قابل توجهی یافت. نیوتن با ابداع حساب مشتقات، ابزاری ساخت که همه هنرنمایی هایش قابل نمایش هندسی نبودند. از این رو، روشهای جبری را بیش از پیش توسعه داد. با وجود این، در بیان مفهوم "فضا و زمان " در فیزیک اش به یک نظام هندسی کامل معتقد بود.
پارادایم هندسه اقلیدسی، پس از انقلاب علمی، نه تنها دانشمندان، بلکه پژوهش فیلسوفان درباره فضا و زمان را نیز به شدت تحت تأثیر قرار داد. از جمله این فیلسوفان می توان به دکارت، مور، مالبرانش و برو اشاره نمود. این فیلسوفان قبل از نیوتن بودند. اما پس از وی، کانت را می توان از مهم ترین فیلسوفانی دانست که افکارش درباره فضا و زمان بر قوام هندسه اقلیدسی به عنوان تنها هندسه متصور برای جهان، بیش از پیش تأکید کرد.
کانت در پی حقایقی بود که زندگی روزانه انسانها بدون اعتقاد به آنها غیر ممکن است. این حقایق لزوماً حقایق منطقی نیستند. از نظر کانت، قضایای ترکیبی پیشین از جمله این حقایق اند و هندسه اقلیدسی مجموعه ای از قضایای ترکیبی پیشینی است درباره ساختار مکانی که به ادراک در می آید. بنابراین اصول و قضایای هندسه اقلیدسی جزو حقایقی هستند که ما تنها بدان صورت جهان را ادراک می کنیم. ترودائو (Richard J. Trudeau) در کتاب انقلاب غیراقلیدسی (The Non-Euclidean Revolution) چنین می گوید: "کانت اظهار نمود که تنها تبیین همان است که اصول اقلیدس درباره چگونگی پردازشگری داده های حسی، داده هایی که فضای حقیقی را تشکیل می دهند، توصیف می نماید. فضای پردازش شده، فضای مطالعه شده در هندسه، تحت قلمرو اصول اقلیدس است؛ زیرا اصول اقلیدس همان اصولی هستند که فضا به وسیله آنها تشکیل شده است ! عدم توانایی ما در تردید در اصول اقلیدس، انعکاسی از این حقیقت است که مغز ما به همان گونه ساخته شده که ما واقعاً قادر نیستیم درباره فضا به روش دیگر فکر کنیم (trudeau ;1987,p.113).
اظهارات کانت و طرفداری وی از مفهوم فضا و زمان نیوتنی, سبب شد که این اعتقاد که تنها یک هندسه وجود دارد و آن هندسه اقلیدسی است، تنها تفکر حاکم بر دانشمندان و فیلسوفان قرون هیجده و نوزده شود.
3. اصل توازی
اقلیدس اصل پنجم از اصول هندسه خود را چنین بیان می کند: "هرگاه خط راستی دو خط راست دیگر را قطع کند و مجموع زوایای درونی یک طرف آن خط از دو قائمه کمتر باشد، اگر این دو خط را بی نهایت امتداد دهیم، سرانجام در همان طرفی که مجموع زوایا کمتر از دو قائمه است، یکدیگر را قطع می کنند". بیان دیگری از این اصل آن است که بگوییم که از هر نقطه غیر واقع بر یک خط, یک و فقط یک خط به موازات آن می توان رسم کرد. از این رو این اصل به اصل توازی هم مشهور است. اقلیدس خود به اصل بودن آن, اعتماد چندانی نداشت و این واقعیت مؤید آن است که او استفاده از آن را برای اثبات قضایا، تا آنجا که ممکن بوده - تا گزاره بیست و نهمش - به تعویق انداخته است. خود این اصل نیز، هم توسط یونانیان زمان اقلیدس و هم در سده های بعد, مورد تردید قرار گرفته است و عده بسیاری سعی در اثبات آن از اصول پیشین داشته اند.
نخستین تلاشی که برای اثبات به عمل آمده، توسط بطلمیوس بوده است. اما استدلال او به دور منجر می شد. پروکلوس (Proclus) (410 تا 485 بعد از میلاد)، که شرح او بر کتاب اصول یکی از منابع اصلی اطلاعات ما در زمینه هندسه یونان است، از اصل توازی بدین گونه انتقاد کرده است: "این را باید حتی از شمار اصول موضوعه بیرون آورد؛ زیرا این قضیه ای است که دشواریهای زیادی در بر دارد و بطلمیوس در کتابی به گشودن آنها همت گمارده است... این کلمه که، چون دو خط را هرچه بیشتر امتداد دهیم بیش از پیش به هم نزدیک می شوند و سرانجام همدیگر را قطع می کنند، پذیرفتنی است ولی نه همیشه " (گرینبرگ،1370، ص 124). پروکلوس هذلولی را مثال می زند که آن اندازه که بتوان تصور کرد, به مجانبهایش نزدیک می شود, بی آنکه هرگز آنها را قطع کند. او می گوید: "پس روشن است که باید برای این قضیه کنونی برهانی بیابیم و این مخالف ماهیت خاص اصل موضوعه است "(همان(.
از مهم ترین تلاشهایی که بعدها برای اثبات اصل توازی به عمل آمده, از خواجه نصیرالدین طوسی (1274-1201) است. سپس جان والیس (John Wallis) (1703-1616) با بیان اصل موضوعه جدیدی به جای اصل پنجم (اصل توازی ), سعی در اثبات آن نمود. وی فکر می کرد که اصل موضوعه وی, قابل قبول تر از اصل توازی است. اما معلوم شد که اصل والیس و اصل پنجم اقلیدس منطقاَ هم عرض می باشند, سپس جیرو لامو ساکری (girolamo saccheri) (1733- 1667) در کتاب کوچکی به نام _ اقلیدس عاری از هرگونه نقص _ سعی در ارائه اثباتی با استفاده از برهان خلف برآمد. وی نقیض اصل توازی را پذیرفت و سپس سعی کرد تا تناقص را از آن نتیجه بگیرد.وی به ویژه بعضی از چهار ضلعیها را که زوایای مجاور به قاعده شان قائم و اضلاع این زوایا با هم قابل انطباِق اند, مورد مطالعه قرارداد.
سه حالت ممکن است پیش بیاید: 1 زاویه های بالایی قائم اند؛ 2 زاویه های بالایی منفرجه اند؛ 3 زاویه های بالایی حاده اند. برای اثبات حالت اول، یعنی همان حالتی که در هندسه اقلیدسی هست، ساکری (saccheri)کوشش کرد نشان دهد که دو حالت دیگر به تناقض منجر می شوند. او توانست نشان دهد که حالت دوم منجر به تناقض می شود؛ ولی هر اندازه کوشش کرد نتوانست تناقضی در حالت سوم به دست آورد و آن را "فرض خصمانه زاویه حاده " نامید. او موفق شد نتایج بسیار عجیبی بدست آورد، ولی تناقضی بدست نیاورد و سرانجام از روی عجز بانگ برآورد: "فرض زاویه حاده مطلقاً غلط است، زیرا که این فرض با ذات خط مستقیم ناسازگار است !" به قول ماروین جی گرینبرگ: "درست شبیه مردی که الماس نایابی را کشف کرده باشد, ولی نتواند آنچه را می بیند باور کند و بانگ بر آورد که شیشه است !" (همان، ص 131).
تلاشهایی که برای اثبات اصل پنجم اقلیدس صورت گرفته بود, به اندازه ای زیاد بود که گ.ز.کلوگل (G. S. Klugel) در سال 1763 موفق شد رساله ای برای دکترا تهیه کند که در آن نقایص 28 برهان مختلف از اصل توازی را پیدا و در ثابت شدنی بودن آن اظهار تردید کند. دایرهالمعارف نویس و ریاضی دان فرانسوی ژ.ل.ر.دالامبر(J.L.R.d Alember) این وضع را "افتضاح هندسه " نامیده بود. اصل توازی همچون اعوجاجی در هندسه اقلیدسی بود. بیش از دو هزار سال ریاضی دانان تلاش می کردند که به گونه ای آن را مرتفع سازند, اما همواره با شکست روبه رو می شدند. ریاضی دانان به تدریج نومید می گشتند. فورکوش بویوئی(Bolyai) مجارستانی به پسرش یانوش نوشت: "تو دیگر نباید برای گام نهادن در راه توازیها تلاش کنی. من پیچ و خمهای این راه را از اول تا آخر آن می شناسم، این شب بی پایان را که همه روشنایی و شادمانی زندگی مرا به کام نابودی فرو برده است سپری کرده ام. التماس می کنم که دانش موازیها را رها کنی. من در این اندیشه بودم که خود را در راه حقیقت فدا کنم. حاضر بودم شهیدی باشم که این نقص هندسه را مرتفع سازد و پاک شده آن را به عالم بشریت تقدیم نماید. من زحمتی عظیم و سترگ کشیدم. آنچه را که من آفریدم به مراتب برتر از آفریده دیگران است. ولی باز هم رضایت خاطر به دست نیاوردم... وقتی دریافتم که هیچ کس نمی تواند به پایان این شب ظلمانی راه یابد، بازگشتم. بی تسلای خاطر بازگشتم، در حالی که برای خود و بشریت متأسف بودم... من مدتها در این دیار بوده ام و به تمامی صخره های جهنمی این دریای مرده سفر کرده ام و همیشه هم با دکل شکسته و بادبان پاره پاره برگشته ام. تباهی وضع و سقوط من به آن دوران باز می گردد. من از روی بی فکری زندگانی و خوشبخت ایم را به مخاطره افکندم " (همان، ص 132).
این ناکامیها نشانه بروز بحرانی جدی در پارادایم اقلیدسی بود. جالب آنکه ریاضی دانان که معمولاً تصور می شود به لحاظ نوع فعالیتی که انجام می دهند, افرادی منطقی اند به مدت بیش از دو هزار سال بر این فکر پای فشردند که اصل پنجم اقلیدسی، اصلی وابسته به سایر اصول است و به رغم تلاشهای بی شمارشان در جهت اثبات آن که همواره با شکست مواجه می شد، هیچ گاه بدین فکر نیفتادند که شاید اصل توازی واقعاً یک اصل باشد؛ اصلی مستقل از سایر اصول. گرچه در این مدت عده انگشت شماری با این تصور حاکم بر جامعه ریاضی مخالفت نمودند, اما جامعه ریاضی دانان هیچ گاه بدانها اجازه بروز نداد. تا اینکه در قرن نوزدهم چند تن از ریاضی دانان هم زمان به این موضوع اندیشیدند که شاید اصل اقلیدس اصلی مستقل از سایر اصول باشد.
4. انقلاب نااقلیدسی
یانوش بویوئی از اخطار پدر نهراسید؛ زیرا اندیشه کاملاً تازه ای را در سر می پرورانید. او فرض می کرد که نقیض اصل اقلیدس حکمی بی معنا نیست. وی در 1823 به پدرش چنین می نویسد:
"چیزهایی که کشف کرده ام به اندازه ای شگفت انگیزند که خودم حیرت زده شده ام و بدبختی جبران ناپذیری خواهد بود اگر اینها از دست بروند... در شرایط کنونی، تنها چیزی که می توانم بگویم این است که از هیچ، دنیایی تازه و شگفت انگیز آفریده ام " (همانجا، ص 132). پدر یانوش کار وی را برای گاوس (Gauss) شاه زاده ریاضی دانها فرستاد. اما برخورد سرد گاوس موجب سرخوردگی یانوش شد؛ به گونه ای که هرگز به فکر انتشار پژوهش هایش نیفتاد.
اما شواهدی در دست است که گاوس پیش تر از بویوئی به برخی اکتشافات هندسه نااقلیدسی دست یافته بوده است. در 1817 گاوس به و.البرس (W. Olbers) نوشت: "دارم بیش از پیش متقاعد می شوم که لزوم اینکه هندسه ما باید اقلیدسی باشد، دست کم نه با عقل آدمی و نه برای عقل آدمی، نمی تواند اثبات شود. شاید در حیاتی دیگر بتوانیم بینش درونی از ماهیت فضا به دست آوریم که اکنون دست یافتنی نیست " (همان، ص 149). وی در نامه ای دیگر در 1824 به ف.آ. تاورینوس (F.A. Taurinus) می گوید: "پذیرفتن اینکه مجموع سه زاویه کمتر از180 باشد, به هندسه شگفت انگیزی منجر می شود که با هندسه اقلیدسی ما به کلی متفاوت، اما کاملاً سازگار است و من آن را بسط داده ام و کاملاً از آن راضی هستم... همه تلاشهای من برای یافتن یک تناقض یا یک ناسازگاری در این هندسه نااقلیدسی به شکست انجامیده است... چنین به نظر می رسد که به رغم گفته های خردمندمآبانه حکمای مابعدالطبیعه، باید گفت که ما درباره ماهیت واقعی فضا بسیار کم می دانیم، یا بهتر بگویم اصلاً نمی دانیم تا بگوییم که فلان امر مطلقاً غیر ممکن است، فقط به این دلیل که غیرعادی به نظر می رسد" (همان، ص 151).
وی در جای دیگری از نامه اش می نویسد: "پروا ندارم از اینکه آنچه گفتم، مورد سوء تعبیر کسانی واقع شود که به ظاهر ذهن ریاضی اندیشی دارند؛ ولی درهرحال، این را به عنوان یک نامه خصوصی تلقی کنید که به هیچ وجه مورد استفاده عمومی یا مورد استفاده ای که به نحوی صورت تبلیغ پیدا کند، قرار نگیرد. شاید خودم در آینده، هنگامی که نسبت به امروز, فراغت بیشتری دست دهد، بررسی هایم را منتشر سازم " (همان)، اما گاوس هیچ گاه آثار خود را منتشر ننمود، چرا؟
منظور گاوس از "حکمای مابعدالطبیعه " در نامه اش، پیروان کانت بودند. کشف هندسه نااقلیدسی به دست گاوس، این نظر کانت را که فضای اقلیدسی ذاتی ساختار ذهن ماست، رد می کرد. از آنجا که فلسفه کانت در اواخر سده هیجدهم و بیشتر سده نوزدهم در سراسر اروپا رواج داشت، اظهارات گاوس می توانست منجر به کشمکشها و حملات فراوانی به وی گردد. از این رو, گاوس از علنی ساختن آثار انقلابی اش عملاً بیمناک بود. باید توجه کرد که گاوس یک ریاضی دان معمولی زمان خویش نبود؛ او کسی بود که لئویولد کرونکر (Kronecker) درباره اش چنین می گوید: "تکامل تدریجی و توسعه منظم دانش حساب و تقریباً تمام آنچه در ریاضیات قرن ما (نوزدهم ) انجام گرفت، در خط سیر افکار بدیعی بوده است که به وسیله گاوس داده شد" (بنقل از تمپل بل، 1363، ص 250).
هاورد ایوز (Howard W.Eves)نیز وی را چنین توصیف می کند:"قرون هیجدهم و نوزدهم در زیر سیطره ریاضی پر صلابت کارل فریدریش گاوس، همچون گستره خلیج رودس در زیر پای تندیس عظیم آپولون قرار دارد." وی را عموماً بزرگ ترین ریاضی دان قرن نوزدهم و همراه با ارشمیدس و نیوتن، یکی از بزرگ ترین ریاضی دانان همه اعصار برشمرده اند" (ایوز، 1368، ص 167). اهمیت علمی گاوس تا بدان درجه است که وی شهزاده ریاضی دانان نامیده شده است. با وجود این اعتبار علمی، گاوس در برابر جامعه ای که غرق در هندسه اقلیدسی بود، جرأت اظهار نظرهایش را نداشت.
تصور عموم از ریاضی دانان چنان است که آنها هر نظریه ریاضی را با معیار و ملاک منطق، درستی استدلالها و سازگاری آن می سنجند و در صورتی که نظریه ای واجد این شرایط باشد, در برابر آن سر تسلیم فرود می آورند. اما به نظر می رسد که پذیرش و مقبولیت یک نظریه در یک جامعه علمی بستگی دارد به این که برای جامعه مورد نظر چه چیزی مهم باشد و یا به چه امری ارزش بنهد. برای جامعه ریاضی قرن نوزدهم که نه تنها هندسه اقلیدسی را تنها تبیین کننده عالم هستی می دانست، بلکه شیوه ادراک ما از عالم هستی را به صورت هندسه اقلیدسی می دانست، تنها مسائلی که برایش مهم بودند، قوام بخشیدن به این هندسه و رفع مشکلات آن بود. واضح است که در این صورت، بیان هندسه دیگری نمی توانست از منزلت چندانی برخوردار باشد و اعتراضات شدیدی را در پی داشت. این بدان معنا نیست که پیروی از منطق و سازگاری یک نظریه ریاضی در پذیرش آن مورد توجه ریاضی دانان قرار نمی گیرد؛ بلکه متذکر این نکته است که منطق تنها عامل پذیرش یک نظریه نیست؛ بلکه تعلقات متافیزیکی جامعه علمی نیز درآن مؤثر است و گاهی این تأثیر بسیار عمیق تر از تأثیر عوامل منطقی و ریاضی است؛ به طوری که ریاضی دان شهیری مثل گاوس، بیم بیان نظرهایش را درباره هندسه نااقلیدسی دارد.
حتی نیکلای لباچفسکی (Lobachevsky) که در سال 1829 جرأت انتشار مقاله اش در باب هندسه نااقلیدسی را یافت، نتوانست توجه جامعه علمی را بخود جلب کند. حال این پرسش مطرح می شود که سرانجام، چگونه هندسه نااقلیدسی مورد پذیرش قرار گرفت ؟ جالب ترین نکته این داستان در اینجاست که تا وقتی مکاتبات گاوس پس از مرگ او در سال 1855 منتشر نشده بود، جهان ریاضی هندسه نااقلیدسی را جدی نگرفت. یعنی آنچه که سبب مقبولیت هندسه نااقلیدسی شد، شهرت ریاضی همان گاوسی بود که خودش جرأت انتشار آثارش درباره هندسه نااقلیدسی را نداشت. همین شهرت سبب شد عده ای از بهترین ریاضی دانان، همچون بلترامی (Beltrami)، کلاین (Klein)، پوانکاره (Poincare) و ریمان (Rieman)موضوع را جدی گرفتند و بسط دادند و آن را در شاخه های دیگر ریاضیات به کار بردند و همین سبب مقبولیت هندسه نااقلیدسی شد. آنچه که در پذیرش هندسه نااقلیدسی نقشی تعیین کننده ای ایفا کرد, این سخن پر بصیرت و ژرف کوهن بود که در گزینش میان نظریه های علمی "هیچ میزانی بالاتر از توافق جامعه مربوطه وجود ندارد" (kuhn;1970,p.94). و این میزان وابسته به ارزشها و معیارهای فرامعرفتی آن جامعه است. در 1868 بلترامی برای آخرین بار مسأله اثبات اصل توازی را پیش کشید و ثابت کرد که اثبات آن غیر ممکن است ! او این کار را از این راه که هندسه نااقلیدسی درست مثل هندسه اقلیدسی، هندسه ای سازگار است، اثبات نمود. همچنین در سال 1854 ریمان با گذاشتن اصل دیگری بجای اصل توازی، هندسه جدیدی را بنا نهاد. در این هندسه، از یک نقطه غیر واقع بر یک خط هیچ خط, موازی با آن خط نمی گذارد.
5. هندسه پیش و پس از انقلاب نااقلیدسی
پس ازانقلاب نااقلیدسی، مسأله اصل توازی که بیش از دوهزار سال در هندسه اقلیدسی مسأله ای جدی بود, به کلی از میان رفت و با جانشینی اصول دیگری، هندسه های نوینی ابداع شد. از آنجا که هندسه های نااقلیدسی از بطن هندسه اقلیدسی سر برآوردند, بسیاری از اصول و قضایای هندسه اقلیدسی حفظ شدند؛ اما برخی دیگر از اصول و قضایای آن یا به کلی از میان رفتند و یا نقیض آنها در هندسه های جدید پدیدار گشتند. خطی که در هندسه های اقلیدسی و لباچفسکی با یک نقطه به دو بخش تقسیم می شوند در هندسه ریمانی به دو بخش تقسیم نمی گردند. خطوط موازی که در هندسه اقلیدسی، هم فاصله اند, در هندسه لباچفسکی هرگز هم فاصله نیستند و در هندسه ریمانی اصلاً خطوط موازی وجود ندارند. اگر خطی یکی از دو خط موازی را قطع کند، در هندسه اقلیدسی باید دیگری را نیز قطع نماید, در حالی که در هندسه لباچفسکی ممکن است قطع کند یا قطع نکند و در هندسه ریمانی چون خطوط موازی وجود ندارند، این موضوع مطرح نمی گردد. دو خط متمایز عمود بر یک خط در هندسه اقلیدسی و لباچفسکی موازیند, در حالی که در هندسه ریمانی همدیگر را قطع می کنند. مجموع زوایای یک مثلث در هندسه اقلیدسی برابر با 180درجه، در هندسه لباچفسکی کمتر از 180درجه و در هندسه ریمانی بیشتر از180درجه است. مساحت یک مثلث در هندسه اقلیدسی مستقل از مجموع زوایای آن است، در حالی که در هندسه لباچفسکی متناسب باکاهش زوایای مثلث ودر هندسه ریمانی متناسب با افزایش زوایای مثلث است.
پس از انقلاب نااقلیدسی و نشان دادن سازگاری تمام هندسه های نااقلیدسی، این سؤال مهم مطرح شد که کدام یک از این هندسه ها معرف یا حکایتگر جهان طبیعی است که ما در آن زندگی می کنیم ؟ یا به عبارتی دیگر, کدام یک از این هندسه ها درست اند؟
هانری پوانکاره (1912-1854م.), ریاضی دان و فیزیک دان فرانسوی به این پرسش چنین پاسخ داد:
"اصول موضوعه هندسی نه شهودهای ترکیبی پیشینی هستند و نه حقایق تجربی؛ بلکه قرارداد هستند. تنها انتخاب ما از میان همه قراردادهای ممکن به وسیله حقایق تجربی رهبری می شود. ولی انتخاب ما آزاد است و فقط به لزوم اجتناب از هرگونه تناقض محدود می شود. بنابراین این اصول اند که می توانند دقیقاً درست باقی بمانند. حتی اگر قوانین تجربی که موجب پذیرفته شدن آنها شده اند, تقریبی باشند. به عبارت دیگر, اصول موضوعه هندسه، تنها عبارت اند از تعاریف در لباس مبدل. پس درباره این پرسش که " آیا هندسه اقلیدسی درست است ؟" چه باید اندیشید؟ پرسش بی معنا است، درست مثل اینکه بپرسیم آیا دستگاه متری درست است و اوزان و مقیاسهای قدیم نادرست اند؟ آیا مختصات دکارتی درست و مختصات قطبی نادرست اند؟... هیچ هندسه ای نمی تواند درست تر از هندسه دیگر باشد؛ تنها ممکن است مناسب تر باشد" (به نقل از گرینبرگ، 1370، ص 124). پرسش فوق و بحث متعاقب آن، بر این موضوع که هندسه و به طور کلی ریاضیات، از چه سخن می گوید, پرتوی تازه افکند.
هندسه از پرتوهای نور صحبت نمی کند، ولی مسیر یک پرتو نور ممکن است تعبیر مادی از اصطلاح هندسی تعریف نشده "خط " باشد. سبب این است که برخی از اصطلاحات اولیه از قبیل نقطه، خط و صفحه تعریف نشده اند و ممکن است به جای آنها اصطلاحات دیگری بگذاریم بی آنکه در درستی نتایج تأثیری داشته باشد. از این رو هیلبرت (Hilbert)، بزرگ ترین ریاضی دان قرن بیستم، کتاب مبانی هندسه (Foundation of Geometry) خود را با این "تعریف " آغاز می کند: "سه مجموعه از چیزهای جدا از هم را در نظر بگیرید. فرض کنید اشیای مجموعه اول نقاط نامیده شوند و با C,B,A و... نشان داده شوند. فرض کنید اشیای مجموعه دوم خطوط نامیده شوند و با c,b,a و... نمایش داده شوند. فرض کنید اشیای مجموعه سوم صفحات نامیده شوند و با a, b, d و..... نمایش داده شوند"(brown;1999, p.95).
همچنین از او نقل شده است که می گفته: "آدمی باید همیشه به جای نقطه و خط و صفحه بتواند میز و صندلی و لیوان آبجو بگوید" (گرینبرگ، ماروین جی، 1370، ص 57) در واقع، به جای اینکه بگوییم: "دو نقطه فقط یک خط را مشخص می کنند", می توانیم بگوییم: " A و B فقط یک a را مشخص می سازند "با وجود تغییری که در اصطلاحها داریم، باز هم اثبات همه قضایای ما معتبر خواهند ماند؛ زیرا دلیلهای درست به شکل و نمودار بسته نیستند, بلکه فقط به اصول موضوعه ای که وضع شده اند و به قواعد منطق بستگی دارند. بنابراین هندسه، تمرینی است کاملاً صوری برای استخراج برخی نتایج از بعضی مقدمات صوری. ریاضیات احکامی می سازد به صورت "هرگاه چنین باشد، آنگاه چنان می شود" و اساساً در آن صحبتی از معنای فرضها یا راست بودن آنها نیست. مفاهیم اولیه از قبیل خط و نقطه که در فرضها ظاهر می گردند, به طور ضمنی به وسیله این اصول موضوعه، که درحکم قواعد بازی هستند و انگار بما می گویند چگونه باید بازی کرد، تعریف می شوند. این دیدگاه، که هیلبرت اولین بار ادعاهایی در این باره در کتاب مبانی هندسه اش بیان نمود, بعدها منجر به پیدایش مکتب صورت گرایی در ریاضیات شد. مطابق این مکتب، ریاضیات با دستگاههای نمادی صوری سروکار دارد. در واقع، ریاضیات مجموعه ای از آن مباحث مجرد تلقی می شود که در آن, اصطلاحات صرفاً نمادهایی هستند و احکام، قواعدی (اصول ) متضمن این نمادها. ریاضیات عاری از محتوای ملموس و تنها شامل عناصر نمادی آرمانی است.
پرواضح است که دیدگاه صورت گرایی با عقیده کهن تری که ریاضیات را "حقیقت محض " می پنداشت و از زمان اقلیدس تا قرن نوزدهم بر ریاضیات، فیزیک و نجوم سایه افکنده بود و پژوهشهای عالمان این حوزه ها را هدایت می کرد و کشف هندسه نااقلیدسی بنای آن را به کلی فرو ریخت، اساساً ناسازگار است. پس از انقلاب نااقلیدسی، ریاضی دانان آزاد بودند که هر مجموعه ای از اصول موضوعه را که دلشان بخواهد ابداع کنند و بر آنها نتایجی مترتب سازند. ژان دیودونه در این باره چنین می گوید: "در تاریخ ریاضیات این کشف نقطه عطف بسیار مهمی بود که اولین مرحله را در مفهوم تازه ای از رابطه بین جهان واقعی و مفهوم های ریاضی که گمان می رود به آن مربوط اند, نشان می داد"با کشف گاوس درباره هندسه نااقلیدسی این دیدگاه نسبتاً ضعیف که اشیای ریاضی تنها "مثل " (به معنا افلاطونی ) اشیای محسوس اند, دیگر نگه داشتنی نبود و تدریجاً جای خود را به دریافتی روشن تر از پیچیدگی خیلی بیشتر مسأله داد که در آن، امروز چنین به نظر می رسد که ریاضیات و واقعیت تقریباً به طور کامل از هم مستقل شده اند و تماس آنها اسرار آمیزتر از همیشه شده است " (همان، ص 254).
به طور کلی، پس از انقلاب نااقلیدسی، نه تنها اصول و مفاهیم هندسه به کلی تغییر نمودند, بلکه مفهوم هندسه و به طور عام تر, ریاضیات پیش و پس از انقلاب، اساساً تفاوت پیدا کردند. به طوری که اگر دانشجوی ریاضی زمان حاضر آثار ریاضی پیش از انقلاب نااقلیدسی را مطالعه کند، با افرادی مواجه می شود که به جای پرداختن به مدلهای ریاضی و هندسی، در مورد ریاضیات و هندسه به گونه ای حرف می زنند که گویا از ویژگیها دنیای واقعی صحبت می کنند و چه بسا از نظر این دانشجو, این گفته ها بسیار سخیف و بیهوده آید؛ به طوری که وی برای درک ریاضیات و هندسه پیش از انقلاب نااقلیدسی باید نوع و نگرش خود به ریاضیات و هندسه را تغییر دهد که در این صورت مشاهده خواهد کرد که ریاضیات و هندسه پیش و پس از انقلاب نااقلیدسی قیاس ناپذیرند.
6. نتیجه
شاید به نظر برسد که چون ریاضیات، برخلاف علوم طبیعی مثل فیزیک، نجوم و شیمی، با مشاهدات تجربی در تماس نیست؛ هیچ گاه با اعوجاج و بحران مواجه نخواهد شد؛ اما همان طور که دیدیم، اعوجاج در ریاضیات از نوع دیگری است؛ مثلاً تردید درباره اصل بودن اصل توازی همچون اعوجاجی در هندسه آشکار شد و با مقاومت در برابر کوششهای ریاضی دانان جهت اثبات آن، جامعه ریاضی دانان را با بحران مواجه نمود.
اما نکته بسیار مهم این است که این اعوجاج و بحران در پی آن در بنیادی ترین سطح هندسه به طرد هندسه اقلیدسی نیانجامید؛ بلکه به مدت بیش از دو هزار سال, تسلط خود را نه تنها بر هندسه, بلکه به علوم دیگر مثل نجوم، فیزیک و حتی فلسفه حفظ نمود. چرا؟ زیرا اگر هندسه دانان، هندسه اقلیدسی را به سبب اعوجاجی که در اصول بنیانی اش بود، رها می کردند، هیچ نظریه جانشینی نداشتند. در این صورت، تکلیف فعالیت پژوهشی آنها در هندسه چه می شد؟ همین تعلقات حرفه ای سبب شد که هندسه اقلیدسی بیش از دو هزار سال تنها پارادایم حاکم در حوزه ریاضیات باشد. زمانی که بویوئی، گاوس و لباچفسکی هندسه جدید را مطرح کردند، نظریه رقیبی برای هندسه اقلیدسی ظاهر شده بود که می توانست جانشین آن شود. همین، موجبات انقلاب نااقلیدسی را فراهم نمود. اما دیدیم که تغییر حمایت از پارادایم اقلیدسی به نااقلیدسی از جانب یکایک ریاضی دانان ناشی از برهانهای صرفاً منطقی درباره سازگاری هندسی نااقلیدسی نبود؛ زیرا جامعه ریاضی قرن نوزدهم به مدت 26 سال از زمانی که لباچفسکی آن را منتشر کرد تا زمان مرگ گاوس از این برهانها آگاهی داشت، اما هیچ گاه آن را جدی نگرفت.
آنچه سبب پذیرش هندسه نااقلیدسی شد, عاملی بود ورای استدلالهای ریاضی و آن اینکه شخصی همچون گاوس شهزاده ریاضی دانان، در نامه هایش از آن طرفداری کرده بود. در واقع، ریاضی دانان نیز همچون "دانشمندان به دلایل گوناگون طرفدار پارادایم جدید می شوند و معمولاً در آن واحد بنابر وجود چند دلیل چنین می کنند. بعضی ازاین دلایل - مثلاً خورشیدپرستی که کپلر را یکی از کوپرنیکیان ساخت - کاملاً در خارج قلمرو آشکار علم قرار دارد. بعضی دیگر وابسته به مزاج شخص و زندگی نامه و شخصیت اوست - حتی ملیّت یا شهرت سابق شخص نوآور و استادان وی گاه می تواند نقش مؤثر ایفا کند" (kuhn;1970, pp.152,153). شهرت و اعتبار گاوس سبب شد که تعدادی از بهترین ریاضی دانان که مرجعیت جامعه ریاضی به عهده شان بود، از هندسه نااقلیدسی حمایت کنند و این سبب پذیرش این هندسه شد. به قول چالمرز (A.F. Chalmers): "انقلاب علمی عبارت است از طرد یک پارادایم و قبول پارادایمی جدید، نه از سوی یک دانشمند به تنهایی؛ بلکه از سوی جامعه علمی مربوطه در تمامیت آن " (چالمرز، 1374، ص 117).
بنابراین آنچه توسط استقرارگرایان و ابطال گرایان به عنوان منطق اکتشافات علمی گفته می شود، باید به طور جدی مورد تجدیدنظر قرار گیرد؛ زیرا همان طور که دیدیم، عملکرد دانشمندان و حتی ریاضی دانان در رسیدن به نظریه های علمی جدید، رفتاری کاملاً بشری است که ما می توانیم در حوزه های دیگر زندگی شان ببینیم. همان طور که هری کالینز (Harry Collins) و ترور پینچ (Trevor Pinch) دو جامعه شناس علم معاصر، می گویند: "آنچه پژوهشهای موضعی ما نشان می دهد, این است که هیچ منطق اکتشاف علمی وجود ندارد و یا بلکه اگر چنین منطقی وجود دارد، آن منطق، منطق زندگی روزمره است " (pinch; 1993, p.142).