وقتی می گوییم ریاضیات این دوره با سمت گیری كاربردی به پیش رفته است به این معنا نیست كه در زمینه ریاضیات نظری كاری انجام نشده است بلكه تنها به این معناست كه عامل اصلی پیشرفت ریاضیات انگیزه بیرونی آن (یعنی زندگی، عمل و نیازهای ناشی از آنها) بوده است.
دوره دوم تكامل ریاضیات با سمت گیری كاربردی را (كه در ضمن دوره سوم تكامل ریاضیات بود) باید از سده هشتم تا سده شانزدهم میلادی دانست، دوره ای كه گرانیگاه آن در ایران بود. زندگی مسئله های تازه ای را پیش آورد كه باید به یاری ریاضیات حل می شد و ریاضیات نظری دوره پیش (ریاضیات یونانی) از عهده حل آنها بر نمی آمد. این مسئله ها به طور عمده مربوط می شد به اخترشناسی، مكانیك (ساختن ساعت های مكانیكی، اسطرلاب و سایر ابزارهای لازم برای رصد، ظریف تر و دقیق تر كردن وسیله های فلزی، سفالی و...) و مسئله های ناشی از اعتقادهای دینی (پیدا كردن جهت قبله، حل مسئله های مربوط به تقسیم ارث و عمل كردن به وصیت نامه ها، كه گاه بسیار پیچیده بود)، گسترش ارتباط های بازرگانی، ساختن قصرها و پرستشگاه ها، ایجاد كاریزها و آبراه ها و...
و ریاضیات با استفاده از همه دستاوردهای دوره های قبل (و به ویژه ریاضیات یونان و هند) با سمت گیری كاربردی (كه در سطحی بسیار بالاتر از ریاضیات كاربردی دوره قبل از یونان بود)، به تكامل خود ادامه داد. اگر از استثناها بگذریم، همه ریاضیدانان این دوره، از پسران «موسی شاكر» تا «جمشید كاشانی»، ایرانی بوده اند.
وقتی می گوییم ریاضیات این دوره با سمت گیری كاربردی به پیش رفته است به این معنا نیست كه در زمینه ریاضیات نظری كاری انجام نشده است بلكه تنها به این معناست كه عامل اصلی پیشرفت ریاضیات انگیزه بیرونی آن (یعنی زندگی، عمل و نیازهای ناشی از آنها) بوده است.
ریاضیدانان ایرانی این دوره با اطلاع از كارهای یونانیان و هندیان و با استفاده از ذخیره فرهنگی غنی قوم های ساكن ایران تلاش كردند كمبودها و شكاف های نظری ریاضیات یونانی را برطرف كنند.
آنها بارها و بارها «مقدمات» اقلیدس را به بحث انتقادی كشاندند، روش های بطلمیوسی را كه در «المجسطی» آمده بود، تصحیح كردند و تكامل دادند، پایه های جبر و مثلثات و به طور كلی ریاضیات محاسبه ای را ریختند، با بررسی دقیق مربوط به نسبت ها مفهوم عدد حقیقی را به عنوان یك كمیت پیوسته وارد ریاضیات كردند، پایه های اصلی هندسه نااقلیدسی را بنا نهادند، روش های ارشمیدس را در زمینه «انتگرال گیری» تكامل بخشیدند و غیره و غیره. ولی در همه این زمینه ها توجه اصلی ریاضیدانان ایرانی، به نیازهای زندگی و دانش های دیگر بوده است. خوارزمی جبر را به دلیل دشواری هایی كه در فقه اسلامی برای تقسیم ارث وجود داشت، پدید آورد. نیمه نخست كتاب «جبر و مقابله» خوارزمی، بحثی نظری درباره راه حل معادله های درجه اول و درجه دوم هم با محاسبه و هم به كمك استدلال های هندسی است. البته خوارزمی از نمادهای جبری استفاده نمی كند و مسئله ها را به صورت توصیفی حل می كند، ولی دقت در روش های حل او، ما را به دستوری می رساند كه امروز، برای حل معادله درجه دوم، به كار می بریم.
خوارزمی و ریاضیدانان ایرانی بعد از او، عدد منفی را جز در برخی حالت های استثنایی به كار نمی برند، به معادله های بالاتر از درجه سوم توجهی نداشتند (خیام، در كتاب جبر خود، برخی از گونه های معادله درجه سوم را به كمك مقطع های مخروطی حل كرده است) و اغلب تنها به یكی از ریشه های معادله، اكتفا می كردند و همه اینها به دلیل توجه اصلی آنها به عمل و نیازهای زندگی بوده است. به طور مثال، ریاضیدانان ایرانی (به پیروی از ریاضیدانان یونانی)، اگر طول پاره خط راست را برابر a می گرفتند،a۲ را مربع a (یعنی مساحت مربعی به ضلع برابر a) و a۳ را مكعبa (یعنی حجم مكعبی به ضلع برابر a) می گفتند، اصطلاح هایی كه هنوز هم معمول اند. در واقع توان دوم را به معنای مساحت و توان سوم را به معنای حجم می گرفتند و چون در زندگی عملی، با جسم چهار یا پنج بعدی سروكار نداریم، بحث درباره معادله های بالاتر از درجه سوم را جز در حالت های نادر مثل معادله های سیال كرجی بی معنی می دانستند.
فارابی در كتاب بزرگ موسیقی خود، برای نخستین بار در جهان، نظریه علمی موسیقی را مطرح می كند و جنبه های مختلف آن را مورد بحث قرار می دهد (در تقسیم بندی فارابی از دانش ها، موسیقی بخشی از ریاضیات به شمار می آید) پیش از فارابی، اگر از موسیقی عملی عیلام و بابل و مصر و هند بگذریم، تنها در یونان بحث هایی در زمینه موسیقی در جریان بود كه بیشتر جنبه متافیزیكی داشت و آمیخته با وهم و تخیل بود.
فارابی مبانی فیزیكی و ریاضی موسیقی را بررسی كرده و نخستین كتاب علمی موسیقی را ارائه داده است. ابوالوفا و بیرونی بیش از دیگران دستورهای مثلثاتی را كشف و ثابت كردند و این به دلیل دشواری هایی بود كه در اخترشناسی و محاسبه های مربوط به آن پیش می آمد. بطلمیوس بیشتر استدلال ها و محاسبه های خود را بر اساس هندسه و قضیه ها و مسئله های آن انجام می داد و این كار را بسیار دشوار می كرد. «ابوالوفای بوزجانی» و «ابوریحان بیرونی»، برای رفع این دشواری ها بود كه مثلثات را شكوفا كردند و پیش بردند و سرانجام «نصرالدین توسی» با تالیف «كشف القناع» خود استقلال مثلثات را از هندسه اعلام كرد. «جمشید كاشانی» برای همین محاسبه های اخترشناسی (او پایه گذار رصدخانه الغ بیگ در سمرقند بود) و به این دلیل كه راه های قبلی (مانند راه ابوالوفا)، اندكی طولانی و تا اندازه ای غیردقیق بود، روش جبری حل معادله درجه سوم: ۴x۳ ۳x = a را برای پیدا كردن مقدار دقیق سینوس یك درجه (از روی سینوس سه درجه) به دست آورد.
ریاضیدانان ایرانی، اندازه سینوس زاویه های ،۱۵ ،۱۸ ،۳۰ ،۴۵ ،۶۰ ،۷۲ ۷۵ درجه (و در نتیجه، كسینوس آنها) را می شناختند و مقدار سینوس سه درجه را با بسط (۱۵ ۱۸) sin به دست می آوردند. باید به این نكته اشاره كنیم كه اغلب مورخان دانش حتی با انصاف ترین آنها نتوانسته اند مقام ریاضیات ایرانی را، در مجموعه تاریخ ریاضیات به درستی و روشنی ارزیابی كنند. اغلب آنها ریاضیدانان ایرانی را تا حد مترجمان ساده نوشته های یونانی پایین آورده اند كه این ترجمه ها هم به موقع خود، به صاحبان اصلی یعنی اروپاییان برگشت داده شده است. به این ترتیب مورخان ریاضی آغاز ریاضیات را در اروپا (یونان) می دانند كه بعد از سقوط مكتب اسكندریه در سده های سوم و چهارم میلادی، دوران فترتی به وجود می آید كه تا سده پانزدهم میلادی ادامه دارد و سپس با دسترسی اروپاییان به نوشته های یونانی (از راه ترجمه عربی آنها) دوباره دنبال كار را می گیرند و آن را به امروز می رسانند.