قضیه چهاررنگ یا حدس چهاررنگ از مسائل مشهور و قدیمی ریاضیات است که سال‌ها اثبات نشده مانده بود. به بیان ساده (و نادقیق) این قضیه می‌گوید: برای رنگ کردن هر نقشه به طوری که کشورها و نواحی همسایه در نقشه همرنگ نباشند فقط چهار رنگ کافی است.
سه رنگ برای نقشه های ساده تر کافیست ولی یک رنگ چهارم اضافی برای برخی نقشه ها لازم است. مثل نقشه هایی که در آن ها یک ناحیه با تعداد فرد نواحی دیگر احاطه شده است که به یکدیگر در یک دایره وصل هستند. قضیه ۵ رنگ که اثباتی کوتاه و ابتدایی دارد، بیان می کند که ۵ رنگ برای رنگ آمیزی نقشه کافیست . این قصیه در اواخر قرن ۱۹ اثبات شده است(هیووو ۱۸۹۰). اثبات اینکه ۴ رنگ کافیست بسیار سخت تر است. تعدادی اثبات های غلط و مثال های نقض از زمان ارائه قضیه ۴ رنگ در ۱۸۵۲ بیان شده اند.
این مسئله به صورت معادله ابتدا درسال۱۸۵۲ عنوان شد و سرانجام در سال ۱۹۷۶ با کمک رایانه توسط کی اپپل و و. هیکن حل شد. این اولین قضیه مهمی بود که با استفاده از کامپیوتر به اثبات رسید. آنها نشان دادند که مجموعه ای از ۱۹۳۶ نقشه وجود دارد که هیچ کدام از آنها نمی توانند قسمتی از یکی از کوچکترین مثال نقض های قضیه چهار رنگ باشند. اپل و هیکن از یک برنامه کامپیوتری خاص منظوره استفاده کردند تا ثابت کنند هیچ کدام از این نقشه ها از این قاعده مستثنا نیستند. علاوه بر این هر نقشه ای فارغ از این که مثال نقض هست یا نه، حتما قسمتی را شامل می شود که شبیه یکی از آن ۱۹۳۶ نقشه می باشد و اثبات این نیاز به صدها صفحه تحلیل دست نویس بود. اپل و هیکن نتیجه گرفتند که اگر بخواهد کوچکترین مثال نقضی وجود داشته باشد باید شامل یکی از آن ۱۹۳۶ نقشه باشد. این تناقض به این معنی بود که هیچ مثال نقضی وجود ندارد و قضیه درست می باشد. در ابتدا اثبات آنها از طرف همه ریاضیدان ها مورد تایید واقع نشد، چرا که چک کردن یک اثبات کامپیوتری توسط انسان امکان پذیر نبود(Swart ۱۹۸۰).
قاعده سازی دقیق قضیه
بیان شهودی قضیه چهار رنگ، یعنی:"در هر افرازی از یک صفحه، که نقشه نامیده می شود، هر ناحیه می تواند به طوری رنگ شود که هیج دو ناحیه مجاوری هم رنگ نباشند و در این رنگ آمیزی از بیشتر از چهار رنگ استفاده نشود"، نیازمند تفسیر و درک مناسب و درستی است. برای مثال هر ناحیه نقشه باید پیوسته باشد. در دنیای واقعی، همه کشورها پیوسته نیستند(برای مثال ایالت آلاسکا در آمریکا و نخجوان در آذربایجان). به علت یکپارچه نبودن قلمرو بعضی کشور ها ممکن است چهار رنگ کافی نباشد.
یک بیان ساده تر این قضیه به کمک تئوری گراف می باشد. می توان مجموعه نواحی یک نقشه را به یک گراف بدون جهت نظیر کرد که هر راس یک ناحیه و هر یال دو راس های دو ناحیه که مجاور هستند را به هم متصل می کند. گراف حاصل مسطح می باشد: یعنی این گراف را می توان در صفحه نقشه قرار داد و هر راس را در جای دلخواهی از ناحیه متناظر آن گذاشت، بدون آنکه هیچ دو یالی همدیگر را قطع کنند. به بیان گرافی، قضیه چهار رنگ بیان می کند که رئوس یک گراف مسطح را می توان با چهار رنگ رنگ آمیزی کرد به طوری که هیچ دو راس مجاور همرنگ نباشند.(Thomas 1998, p. 849; Wilson 2002)
تاریخچه
تلاش های اولیه برای اثبات اولین بار در سال ۱۸۵۲ مطرح شد. در آن هنگام فرانسیس گاتری مشغول رنگ آمیزی نقشه انگلستان بود که متوجه شد چهار رنگ برای این کار کافیست. فرانسیس این موضوع را با برادرش فردریک مطرح کرد، که بعدا وی آن را به پیش د مرگان برد. اولین منبع منتشر شده از آرتور کیلی می باشد(آرتور کیلی ۱۸۷۹).
تلاش های ناموفق بسیاری برای اثبات این قضیه انجام شده است. اثبات آلفرد کمپه در سال ۱۸۷۹ که بسیار مورد قبول واقع شد و اثبات دیگری که پیتر گاتری تیت در ۱۸۸۰ مطرح کرد، همگی از این دست بودند. هر دوی این اثبات های اشتباه ۱۱ سال بعد از مطرح شدنشان به ترتیب توسط پرسی هیوود و ژولیوس پترسن نقض شدند.
اثبات توسط کامپیوتر
در دهه های ۶۰ و ۷۰ میلادی هاینریش هیش، ریاضیدان آلمانی، روش های اثبات به کمک کامپیوتر را توسعه داد. متاسفانه در این زمان وی به وی فرصت استفاده از ابررایانه داده نشد تا کارش را ادامه دهد. ولی دیگران روش های او را ادامه دادند. در سال ۱۹۷۶، در حالی که گروه هایی از ریاضیدانان در رقابت برای بدست آوردن اثبات کامل بودند، کنس اپل و وولفانگ هیکن در دانشگاه Illinois اعلام کردند که قضیه را اثبات کرده اند. آنها در یک سری کارهای الگوریتمی توسط John A. Koch همیاری شده بودند (Wilson ۲۰۰۲).
اگر حدس چهار رنگ نادرست بود، حداقل یک نقشه وجود داشت با کمترین تعداد نواحی ممکن، که به پنج رنگ نیاز داشت. اثبات نشان داد که چنین کوچکترین مثال نقضی نمی تواند وجود داشته باشد؛ از طریق دو مفهوم فنی(Wilson 2002; Appel & Haken 1989; Thomas 1998, pp. 852–853): مجموعی اجتناب ناپذیر دربر دارنده ی نواحی ای می باشد که هر نقشه حداقل باید یکی از آنها را دارا باشد.
یک آرایش کاهش پذیر وضعیتی از کشورهاست که نمی توانند در یک مثال نقض کمینه اتفاق بیفتند. اگر در یک نقشه یک آرایش کاهش پذیر وجود داشته باشد، نقشه می تواند به یک تقشه کوچکتر کاهش یابد. حال اگر این نقشه کوچکتر بتواند با چهار رنگ رنگ آمیزی شود، نقشه اصلی هم می تواند با چهار رنگ رنگ آمیزی شود. این به این معنی است که اگر نقشه اصلی نتواند با چهار رنگ رنگ شود نقشه کوچکتر هم نمی تواند، پس نقشه اصلی کمینه نیست.
با استفاده از قوانین و روش های ریاضی بر پایه ی خواص آرایش های کاهش پذیر، اپل و هیکن یک مجموعه اجتناب ناپذیر از آرایش های کاهش پذیر یافتند که نشان می دهد هیچ مثال نقض کمینه ای وجود ندارد. اثبات آنها تعداد بینهایت نقشه ممکن را به ۱۹۳۶ آرایش کاهش پذیر(که بعدا به ۱۴۷۶ رسید) کاهش داد. پروسه چک کردن این تعداد حالت با کامپیوتر بیشتر از هزار ساعت به طول انجامید(Appel & Haken ۱۹۸۹).
ساده سازی و بازبینی
الگوریتم هایی که برای اثبات قضیه استفاده شدند داری پیچیدگی زمانی (O(n۲ می باشد که n تعداد راس ها است. در سال ۲۰۰۵ Benjamin Werner و George Gonthier به کمک Coq برای اثبات قضیه قاعدی سازی کردند. این کار نیاز به اعتماد به برنامه های کامپیوتری که برای درستی سنجی حالت های خاص بودند را از بین برد. حال تنها نیاز است به Coq kernel اعتماد شود(Gonthier ۲۰۰۸).
خلاصه ی ایده ی اثبات
این قسمت خلاصه ای است بر مبنای مقدمه کتاب Every Planar Map is Four Colorable نوشته ی اپل و هیکن. با وجود اینکه اثبات اولیه کمپه اشتباه بود، ابزار پایه ای برای اثبات قضیه را ساخت. اظهارات کمپه بدین صورت بود: اگر نواحی مسطحی که با گراف جدا شده اند مثلث نباشند، به عبارت دیگر دقیقا سه گوشه در مرزهایشان نداشته باشند، می توانیم به آنها بدون معرفی رئوس، یال اضافه کنیم تا مثلثی شوند. اگر این گراف مثلثی قابل رنگ شدن با ۴ رنگ یا کمتر باشد گراف اصلی هم قابل رنگ شدن است چرا که همان نحوه ی رنگ شدن در صورت از بین بردن یال ها مجاز است.