این مقاله ترجمه ای است از مقدمه کتاب:
Gottlob Frege. The Foundations of Arithmetic, tr. J. L. Austin, 2nd ed. Basil Blackwell, 1953, pp.I-XI.
مقدمه
عدد چیست؟ چگونه می توان آن را تعریف کرد؟ آیا عدد با عمل انتزاع از اشیاء به دست می آید؟ آیا همانند رنگ خاصیتی است از اشیاء؟ فرگه در 1884 کتاب مبانی حساب را برای پاسخ بدین پرسشها و طرح و حل مسائل فلسفی دیگر نوشت. در این کتاب فرگه نخست پاسخهای فیلسوفان و ریاضی دانان معاصر با خود و پیش از خود را نقل و سپس نقد می کند. آن گاه در نیمه دوم کتاب آراء خود را که همه بدیع و آغازگر فصلی تازه در فلسفه ریاضی و منطق اند می آورد. آنچه این کتاب را شاهکار مسلمی در فلسفه ریاضی و فلسفه تحلیلی کرده است، گذشته از انبوه مطالب تازه و ژرف آن، سبک نگارش، زیبایی تقریر و قدرت تحلیل فرگه در توضیح مسائل است.
فرگه در مقدمه این کتاب ریاضی دانان را، بدین دلیل که تصور روشنی از مبانی علم خود ندارند و توجهی هم بدان نشان نمی دهند، سرزنش می کند. آن گاه دلیل این بی توجهی را دخالت پسیکولوژیسم در فلسفه و ریاضی می داند. سپس برخی نقصها و آفتهای پسیکولوژیسم و ایدئالیسم را که همه چیز را به ایده های ذهنی فرو می کاهد، برمی شمارد و در پایان روش شناسی خود را در سه اصل خلاصه می کند: جدا نگاه داشتن پسیکولوژیسم از منطق; پرسش از معنای کلمه در جمله و نه بیرون از آن; توجه به تمایز شئ از مفهوم. درک دقیق معنای این سه اصل مستلزم مطالعه دقیق مبانی حساب و آثار دیگر فرگه است. در مورد تمایز شئ از مفهوم، خواننده می تواند به مقاله «گوتلوب فرگه و تحلیل منطقی زبان » در همین شماره مراجعه کند. (ضیاء موحد)
هرگاه از کسی بپرسیم عدد یک چیست یا علامت 1 چه مصداقی دارد، معمولا در پاسخ می شنویم که «خوب، یک چیزی است». اگر در دنبال سخن خود بگوییم که گزاره «عدد یک، یک چیزی است.» تعریف به شمار نمی آید زیرا در یک سوی آن علامت معرفه [کسره اضافه واژه عدد در فارسی] و در سوی دیگر آن علامت نکره [واژه یک در جلو «چیز» و «ی » پس از آن] وجود دارد، یا بگوییم که این گزاره فقط عدد یک را در رده اشیاء قرار می دهد اما نمی گوید که کدام یک از اشیاء است، احتمال بسیار می رود که از ما بخواهند چیزی را - هر چه را که دلمان می خواهد - برگزینیم و آن را یک بخوانیم. اما، اگر هرکسی حق داشته باشد که از این نام [یک] هر چه دلش می خواهد بفهمد، آن وقت هر گزاره واحدی درباره عدد یک برای مردمان گوناگون معانی گوناگون خواهد داشت و این گونه گزاره ها محتوای مشترکی نخواهند داشت. شاید کسانی باشند که از پاسخ گفتن به این پرسش سرباز زنند و نیز که در حساب به کار می رود محال است بتوان معنایی گفت; و اگر بگوییم a ] به معنای عددی است»، بر این نیز همان ایراد وارد است که بر تعریف «یک، یک چیزی است » وارد بود. البته سرباززدن از پاسخگویی در مورد حرف a کاملا بجاست: a به معنای عدد معینی نیست که بتوان آن را مشخص کرد، بلکه برای بیان کلیت گزاره های کلی به کار می رود. اگر در فرمول a + a - a a به جای a عددی بگذاریم، هر عددی که بخواهیم اما همه جا همان عدد را بگذاریم، همواره یک این همانی صادق به دست خواهیم آورد. حرف a به همین معنا به کار رفته است. اما در مورد یک، وضعیت اساسا فرق می کند. آیا در این همانی 2 ل 1 + 1 می توانیم به جای 1 در هر دو جا همان شی ء مثلا «ماه » را بگذاریم؟ برخلاف، ظاهرا به نظر می رسد که هر چه به جای اولین 1 بگذاریم به جای دومی چیز دیگری باید گذارد. چرا باید در این مورد کاری بکنیم که در مورد دیگر پاک نادرست کارش به انجام نمی رسد بلکه باید حرفهای دیگری را نیز (مانند c ,b و غیره) به کار گیرد تا روابط بین عددهای گوناگون را به صورت کلی بیان کند. پس طبیعی است که فرض کنیم علامت 1 نیز، اگر به طرز مشابهی به کار رود تا کلیت گزاره ها را برساند، به تنهایی کافی نباشد. با این همه، شک نیست که عدد یک شی ء معین خاصی به نظر می رسد با خصوصیاتی که می توان آنها را مشخص کرد، مثلا این خصوصیت که وقتی در خود ضرب می شود تغییری در آن راه نمی یابد. از این جهت، حرف a هیچ خاصیتی ندارد که بتوان آن را مشخص کرد. زیرا هر چه درباره حرف a گفته شود، خاصیت مشترک همه عددهاست، در حالی که 1 ل 1 1 درباره ماه هیچ چیز نمی گوید. درباره خورشید و درباره صحرا و درباره قله تنه ریفه (1) نیز هیچ چیز نمی گوید; آخر معنای چنین گفته ای چه می توانست باشد؟
پرسشهایی از این قبیل حتی گریبان ریاضی دانان را نیز می گیرد که همگی یا غالب آنان هیچ پاسخ کافی برای آن در چنته ندارند. با این همه، آیا شرم آور نیست که علم ما درباره نخستین و پرسابقه ترین موضوعهای خود تا این اندازه مبهم باشد، آن هم موضوعی که ظاهرا تا این اندازه ساده است؟ پس این امید اندکی است که بتوانیم بگوییم عدد چیست. اگر مفهومی که برای علمی والا تا این اندازه اساسی است دشواریهایی پدید آورد، پس وظیفه مبرم آن است که آن را با دقت بیشتری بررسی کنیم تا بر آن دشواریها غلبه کنیم; علی الخصوص که تا وقتی بینش ما درباره شالوده کل ساختار علم حساب ناقص باشد در روشن ساختن عددهای منفی یا عددهای کسری یا مختلط مشکل بتوان موفق شد.
به یقین بسیار هستند کسانی که معتقدند این کار به زحمتش نمی ارزد. طبعا اینان گمان می کنند که در کتابهای درسی ابتدایی آنقدر که باید به این مفهوم پرداخته اند و موضوع در همان کتابها یکباره و تا ابد فیصله یافته است. کیست که قبول کند هنوز هم باید درباره موضوعی به این سادگی چیزی بیاموزد؟ مفهوم عدد صحیح مثبت را بیش از آن خالی از هر دشواری می دانند که شرح و تفصیلی از آن را که برای کودکان مناسب است بتوان کاری علمی و جامع دانست; و دیگر اینکه هر طفل مکتبی بی هیچگونه تفکر یا آشنایی بیشتر درباره آنچه دیگران اندیشیده اند هرچه را باید در این زمینه دانست می داند. پس در اینجا نخستین انگیزه آموختن یکسره مفقود است - یعنی دانستن اینکه نمی دانیم. در نتیجه هنوز هم به ناپخته ترین نظرها خرسندیم. هر چند که از زمان هربارت (2) نظر بهتری هم در دسترس بوده است. چه غم انگیز و نومیدکننده است که می بینیم چگونه کشفهایی که روزگاری به عمل آمده است بدین طرز در خطر آن است که بار دیگر از دست برود و چه بسیار کارها که مهمل گذارده شده است، زیرا ما خود را در چنان مرتبه والایی می دانیم که دیگر نیازی نمی بینیم زحمت کشیده ثمره آن کارها را جذب کنیم. نیک می دانم که کار من نیز در معرض همین خطر است. وقتی می بینیم محاسبه را «اندیشه مجموعی مکانیکی » (3) تعریف کرده اند، نمونه بارزی از این ناپختگی را پیش چشم خود می بینیم. تردید دارم که آیا هیچ گونه اندیشه ای وجود دارد که مابازای این توصیف باشد. حتی می توان یک تخیل مجموعی را با اغماض پذیرفت; اما ربطی به محاسبه ندارد. جنبه های اساسی اندیشه همه جا یکی است: درست نیست که بگوییم قوانین اندیشه انواع متفاوتی دارد که متناسب با انواع متفاوت موضوعهای اندیشه است. تفاوتهایی که وجود دارد فقط در این است که اندیشه بیشتر مجرد باشد یا کمتر، کمتر به عوامل روانی و کمکهای خارجی مانند واژه ها یا شماره ها وابسته باشد یا بیشتر، و همچنین تفاوت تا اندازه ای در این است که ساختار مفهومهایی که در اندیشه دخیل هستند تا چه اندازه ظریف یا مخت باشد; اما درست از همین جهت است که ریاضیات می خواهد از تمام علوم دیگر، حتی از فلسفه، درگذرد.
را از n نتیجه گیری کنیم، هر چند که ظاهرا مختص ریاضیات است، اما بر شالوده قوانین عام منطق استوار است و نیز این نکته روشن خواهد شد که برای اندیشه مجموعی نیاز به قوانین خاصی نیست. البته می توان با ارقام و اعداد به طور مکانیکی عمل کرد. چنانکه می توانیم مانند طوطی سخن بگوییم، اما چنین عملی دیگر لایق نام اندیشه نیست. آن عمل مکانیکی نیز تنها در صورتی میسر خواهد بود که علامتهای ریاضی در نتیجه اندیشه اصیل چنان پرورانده شده باشند که به اصطلاح به جای ما کار فکرکردن را انجام دهند. این بدان معنا نیست که اعداد به طرز مکانیکی عجیب و غریبی ساخته شده باشند، چنانکه مثلا شن از دانه های کوارتز ساخته شده است. به نظر من ریاضی دانان باید به لحاظ مصلحت خود با نظریاتی از این قبیل مبارزه کنند. زیرا مسلم است که چنین نظریاتی موجب بی اعتباری موضوع اصلی پژوهشهای ریاضی دانان و همچنین بی اعتباری علم آنان خواهد شد. با این حال عباراتی از این قبیل حتی در آثار ریاضی دانان نیز یافت می شود. حقیقت یکسره عکس این است: چنانکه پس از این ناگزیر اذعان خواهیم کرد، مفهوم عدد از غالب مفاهیم علوم دیگر ساختار ظریفتری دارد هر چند که هنوز هم یکی از ساده ترین مفاهیم حساب است.
برای رفع این توهم که اعداد صحیح مثبت هیچ مشکلی پیش نمی آورند و درباره آنها میان همگان توافق حاصل است، طرح آن ریخته ام که پاره ای از نظریات ریاضی دانان و فیلسوفان را درباره موضوعهای موردنظر نقادی کنم. خواهیم دید که میزان توافق آنان چه اندک است - چنان اندک که می بینیم هر حکمی دقیقا با حکم دیگر متناقض است. فی المثل، پاره ای معتقدند که «واحدها با یکدیگر این همانی دارند»، دیگران معتقدند که چنین نیست و واحدها با یکدیگر تفاوت دارند و هر طرف برای گفته خود برهانهایی می آورد که بی درنگ نمی توان آنها را رد کرد. هدف من از این کار آن است که شوق به پژوهش دقیقتر را بیدار کنم. در عین حال این بررسی مقدماتی درباره آراء دیگران زمینه را برای بیان نظر خود من آماده می کند، بدین معنا که خواننده را از پیش قانع می کند که آن راههای دیگر به مقصد نمی رسند و چنین نیست که عقیده من فقط عقیده ای باشد در میان عقایدی که همه آنها به یک اندازه اعتبار دارند; و امیدوارم بدین طریق بتوانم مساله را دست کم از جهات اساسی آن، قطعا فیصله دهم.
البته خود می دانم که مآلا به مباحثی کشانده شده ام که بیش از آن فلسفی است که بتواند مورد تایید بسیاری از ریاضی دانان باشد; اما بررسی همه جانبه مفهوم عدد همواره ناگزیر تا اندازه ای جنبه فلسفی پیدا می کند. این بررسی، کاری است مشترک بین ریاضیات و فلسفه.
چه بسا که همکاری بین این دو علم، با آنکه از هر دو سو گامهای بسیار در راه این همکاری برداشته شده است، چندان که مطلوب و ممکن بوده ثمری به بار نیاورده باشد. اگر چنین باشد، علت آن به عقیده من غلبه روشهای استدلال روانشناسی در زمینه فلسفه بوده است که حتی به زمینه منطق نیز سرایت کرده است. ریاضیات با این روال هیچ سر لطف ندارد و این خود نیک نشان می دهد که چرا بسیاری از ریاضی دانان از استدلالهای فلسفی روگردانند. مثلا وقتی استریکر (4) تصورات ما را از اعداد پدیده ای موتوری می خواند و آنها را به احساسهای ماهیچه ای وابسته می داند، هیچ ریاضی دانی نمی تواند اعداد موردنظر خود را در چنین معرکه ای بازشناسد و نمی داند از کجا به دست و پنجه نرم کردن با چنین گفته ای آغاز کند. علم حساب که بر شالوده احساسهای ماهیچه ای استوار باشد بی شک بس هیجان انگیز خواهد بود اما همچون شالوده خود سراپا مبهم خواهد بود. نه، علم حساب نه کاری به کار احساسها دارد نه کاری به کار تصویرهای ذهنی که از آثار درهم برهم شده تاثرات حسی نخستین ترکیب شده باشند. این مراحل آگاهی همه ذاتا پرنوسان و نامعین است و با معین بودن و ثبات مفاهیم و اشیاء ریاضیات در غایت تضاد است. البته شاید پژوهش درباره تصورات و دگرگونیهای تصورات که در جریان تفکر ریاضی پیش می آید فایده هایی داشته باشد; اما روانشناس نباید خیال کند که می تواند از هیچ لحاظ هیچ مددی به شالوده ریاضیات برساند. در نظر ریاضی دان، به اعتبار آنکه ریاضی دان است، این گونه تصویرهای ذهنی و منشا و دگرگونیهای آنها هیچ اهمیتی ندارند. استریکر خود می گوید تنها تصوری که در ذهن او با واژه «صد» تداعی می شود همان علامت 100 است. دیگران ممکن است تصور حرف «ص » یا چیز دیگری را تداعی کنند; آیا نمی توان نتیجه گرفت که این گونه تصویرهای ذهنی تا آنجا که به ما و نکات اساسی مساله ما مربوط می شود، یکسره بی اهمیت و فرعی هستند - یعنی به اندازه گچ و تخته سیاه فرعی هستند و براستی در خور آن نیستند که نام تصور عدد صد بر روی آنها بگذاریم؟ پس هرگز نباید فرض را بر این بگذاریم که اساس مسئله در این گونه تصورات نهفته است. هرگز نباید توصیف منشا یک تصور را به جای تعریف قبول کنیم یا شرح اوضاع و احوال ذهنی و جسمی را که در آن اوضاع و احوال از گزاره ای آگاه می شویم به جای برهان آن گزاره بپذیریم. درباره هر گزاره ای می توان اندیشید و همچنین آن گزاره ممکن است صادق باشد; این دو امر را هرگز نباید با یکدیگر خلط کنیم. همواره باید این را به یاد داشته باشیم که همان گونه که به صرف آنکه ما چشمهای خود را ببندیم وجود خورشید پایان نمی گیرد، صرف اینکه ما درباره گزاره ای نیندیشیم نیز سبب نمی شود که صدق آن پایان گیرد. اگر غیر از این بود، درموقع اثبات قضیه فیثاغورس ناگزیر می شدیم جایی هم برای میزان فسفر مغز بشر باز کنیم; و منجمان دست و دلشان می لرزید که درباره گذشته دور به هیچ گونه نتیجه گیری دست یازند مبادا متهم شوند که گذشت زمان را از نظر دور داشته اند - و دودوتا را چهارتا حساب کرده اند بدون آنکه در نظر گیرند که تصور ما از عدد نتیجه تکامل است و تاریخی در پشت آن نهفته است. ممکن بود شک کنند که تا آن زمان، در گذشته های دور، شاید تصور عدد آن اندازه پیشرفت نکرده بوده است. چگونه می توانند ادعا کنند که می دانند در عهد دقیانوس نیز گزاره 4 ل 2×2 وجود داشته است؟ آیا احتمال نمی رود موجودات آن زمان گزاره 5 ل 2×2 را درست می دانسته اند که در نتیجه تکامل آن از طریق روند انتخاب طبیعی در تنازع بقا گزاره 4 ل 2×2 بعدا حاصل شده است؟ چه بسا بتوان گفت که خود گزاره 4 ل 2×2 نیز سرنوشتش آن است که به همان شیوه به گزاره 3 ل 2×2 تکامل یابد! ! Est Modus in rebus, sunt certi denique fines
برداشت تاریخی، با این هدف که ببینیم چیزها چگونه آغاز شده و از منشا آنها به ماهیت آنها پی ببریم بی شک کاملا بجاست; اما محدودیتهایی هم دارد. اگر همه چیز مدام در سیلان می بود و هیچ چیز خود را در همه زمانها ثابت نگاه نمی داشت، دیگر دانستن هیچ چیز درباره جهان ممکن نمی شد و همه چیز در اغتشاش فرو می رفت. ظاهرا ما خیال می کنیم که مفاهیم در ذهن شخص همچون برگ بر درخت می روید و گمان می بریم با بررسی زایش آنها می توانیم ماهیت آنها را کشف کنیم، از این رو درصدد برمی آییم تا مفاهیم را براساس روانشناسی و در چارچوب ماهیت ذهن بشر تعریف کنیم. اما چنین توصیفی همه چیز را ذهنی می سازد و اگر آن را تا پایان دنبال کنیم، از حقیقت دور خواهیم شد. آنچه ما آن را تاریخ مفاهیم می شماریم، در واقع یا تاریخ علم ما به مفاهیم است یا تاریخ معانی واژه هاست. غالبا بشر فقط پس از تلاش فکری عظیمی که ممکن است صدها سال ادامه داشته باشد سرانجام توفیق می یابد از مفهومی به صورت خالص آگاه شود و حشو و زواید نامربوطی را که آن مفهوم را از چشم ذهن پوشیده نگاه می دارد بزداید. پس چه باید گفت درباره کسانی که در مواردی که این کار کامل نشده است به جای پیش بردن آن از آن بیزاری می جویند، روانه مهد کودک می شوند یا خود را در دورانهایی از تکامل بشر که دورتر از آن به تصور نمی آید دفن می کنند تا در آنجا مانند جان استوارت میل علم حساب کلوچه ای یا سنگریزه ای کشف کنند! همین مانده است که از طعم نان هم معنای خاصی به مفهوم عدد نسبت دهند. چنین روشی حتما درست خلاف جهت عقل است و در هر حال آن قدر غیرریاضی است که از آن بیشتر نمی شود. عجب نیست که ریاضی دانان به این روش پشت می کنند. آیا مفاهیم، همچنان که ما به سرچشمه های مفروض آنها نزدیک می شویم خود را به طرز خالص خاصی آشکار می کنند؟ هرگز چنین نیست; ما همه چیز را چنان می بینیم که گویی از میان مه دیده ایم، محو و نامشخص. مثل آن است که هرکس می خواهد چیزی درباره امریکا بداند ناچار باشد سعی کند خود را در وضعیت کریستف کلمب قرار دهد، آن هم در زمانی که کریستف کلمب نخستین بار به منظر مبهم و مشکوک جایی نظر کرد که گمان می برد هندوستان است. البته این قیاس چیزی را ثابت نمی کند; اما امیدوارم نکته ای را که می خواهم بگویم روشن کند. چه بسا که تاریخ کشفهای نخستین موضوع پرفایده ای برای بررسی باشد و مقدمه پژوهشهای دیگر قرار گیرد; لکن نباید جای آن پژوهشها را غصب کند.
تا جایی که پای ریاضی دانان در کار است، حمله به چنین نظریاتی کمتر ضرورت دارد، اما من بحث را طوری طرح ریزی کرده ام که هر نزاعی را حتی الامکان به عرصه فیلسوفان نیز بکشانم. چندان که ناگزیر شدم قدری هم وارد رشته روانشناسی شوم، حتی اگر برای دفع هجوم آن به ریاضیات باشد.
از سوی دیگر، حتی متون ریاضی نیز گاهی به وادی روانشناسی می لغزند. در مواردی که نویسنده خود را ناگزیر می بیند تعریفی به دست دهد اما نمی تواند، رو به آن می آورد که دست کم راه رسیدن به شی ء یا مفهوم موردنظر را وصف کند. این گونه موارد را از آنجا به آسانی می توان شناخت که نویسنده در دنباله بیان مطلب خود دیگر به آن وصفها اشاره ای نمی کند. توضیحات مقدماتی برای مقاصد آموزشی بی شک کاملا بجاست; اما این گونه توضیحات را همواره باید از تعریفها تمیز داد. نمونه مفرح موردی که حتی ریاضی دانان ممکن است مبانی برهان را با شرطهای ذهنی یا جسمی، که باید برای آوردن برهان تحقق یابد، اشتباه کنند، در کتاب ای. شرودر (5) دیده می شود. وی در زیر عنوان «اصل ویژه » این مطلب را از خودش درمی آورد: «اصلی را که در ذهن دارم می توان اصل ثبات نمادی نامید. این اصل ضامن آن است که در سراسر استدلالها و قیاسهای ما نمادها در حافظه ما - یا، بهتر از آن - بر روی کاغذ ثابت بماند.» و قس علی هذا.
امری که برای ریاضی دانان اهمیتش کمتر از رد هرگونه کمک از سوی روانشناسی نیست، اذعان به پیوند نزدیک آن با منطق است. من حتی تا حد قبول این نظر پیش می روم که جداکردن ریاضیات و منطق به طور قاطع محال است. این اندازه را همه قبول دارند که هرگونه پژوهشی درباره قوت برهان یا توجیه هر تعریفی در حوزه منطق است. اما این گونه پژوهشها را نمی توان از حوزه ریاضیات بیرون کرد زیرا تنها از راه پاسخگویی به آنهاست که می توانیم به یقین لازم برسیم.
بی شک من در این جهت بیش از اندازه متعارف جلو می روم. در پژوهشهایی از این قبیل، اغلب ریاضی دانان به آن بسنده می کنند که نیازهای فوری خود را برآورند. اگر معلوم شود که تعریفی در برهانها جا می افتد، اگر در هیچ جا تناقضی نبینند و اگر بین موضوعهایی که ظاهرا دور از یکدیگرند پیوندهایی آشکار گردد و این خود باعث پیشرفتی در زمینه نظم و ترتیب گردد، معمولا تعریف را محرز می دانند و دیگر درباره توجیه منطقی آن چندان پرس وجویی نمی کنند. این روش دست کم این حسن را دارد که به خطارفتن تیرشان دشوارتر می شود. من حتی با تعریفهایی موافق هستم که ارزش آنها در مفیدبودن آنهاست: باید بتوانیم این تعریفها را در ساختن برهانها به کار ببریم. اما باز هم این نکته را باید در نظر داشت که تا وقتی تعریفها را فقط به صورت نوعی دلیل تراشی به صرف آنکه با هیچ تناقضی روبرو نشده ایم توجیه می کنند، قوت برهان توهمی بیش نیست ولو آنکه در زنجیره قیاسهای ما هیچ حلقه ای هم مفقود نباشد. با این روشها ما در پایان کار به چیزی جز یقین تجربی نمی رسیم و حتما باید این امکان را در نظر داشته باشیم که هنوز هم ممکن است در پایان با تناقضی روبرو شویم که تمامی بنا را درهم فرو ریزد و ویران کند. به این دلیل من خود را ملزم دیده ام که تا اندازه ای بیش از آنچه که شاید اغلب ریاضی دانان لازم می شمارند به موضوع مبانی عمومی منطقی این علم بازگردم.
در پژوهشی که خواهد آمد، به سه اصل اساسی پایبند بوده ام:
همواره امر روانی را از امر منطقی و امر ذهنی را از امر عینی قاطعانه جدا نگاه دارم;
هیچ گاه معنای واژه ای را به طور جداگانه جستجو نکنم بلکه فقط در متن یک گزاره بجویم;
هیچ گاه فرق مفهوم و شی ء را از نظر دور ندارم.
برای رعایت اصل اول، واژه «تصور» را همواره در معنای روانشناختی آن به کار برده ام و تصورات را از مفاهیم و اشیاء متمایز کرده ام. اگر اصل دوم را رعایت نکنیم همواره ناگزیر خواهیم بود تصویرهای ذهنی یا کارهای ذهن فرد را به جای معانی واژه ها بپذیریم و بدین صورت اصل اول را نیز زیرپا بگذاریم. و اما درباره اصل سوم، این توهم صرف است که گمان کنیم می توانیم مفهوم را بی آنکه تغییری در آن بدهیم به شی ء بدل کنیم. از این گفته این نتیجه حاصل می شود که نظریه فرمالیستی اعداد کسری، منفی و غیره که جانبداران زیادی دارد بی پایه است. در این کتاب فقط می توانم به نظر خود درباره اصلاح آن نظریه اشاره ای بکنم. موضوع درباره این گونه عددها نیز، مانند اعداد صحیح مثبت، آن است که معنای این همانی را مشخص کنیم.
گمان می کنم نتایجی که به دست آورده ام، دست کم در اساس، نظر موافق ریاضی دانانی را جلب کند که زحمت توجه به استدلالهای مرا بر خود هموار می کنند. به نظر من، بذر این استدلالها در هوا پراکنده است و چه بسا هرکدام از آنها یا چیزی شبیه به آن به تنهایی پیش از این هم مطرح شده باشد; هر چند که شاید مطرح کردن آنها در ارتباط با یکدیگر، چنانکه در اینجا مطرح می شود، هنوز هم کار تازه ای باشد. اغلب اوقات من دچار شگفتی شده ام که می بینم نویسندگانی که در یک مورد به رای من بسیار نزدیک هستند در سایر موارد به شدت از رای من دور می شوند.
اینکه فیلسوفان استدلالهای مرا چگونه بپذیرند بستگی دارد به وضع کلی عقاید آنان; اما احتمال می رود آن عده از تجربه گرایان که استقراء را تنها روند اصیل استنتاج می دانند (و حتی در این خصوص نیز آن را روند استنتاج نمی دانند بلکه نوعی روند تکوین عادت می شمارند) استدلالهای مرا کمتر از همه بپسندند. شاید تک وتوکی از آنان از این فرصت بهره جویند و بار دیگر مبانی نظریه شناخت خود را بررسی کنند. در پاسخ آنان که دلشان می خواهد تعریفهای مرا بدین عنوان که غیرطبیعی است مورد انتقاد قرار دهند می گویم که مساله در اینجا طبیعی بودن یا نبودن آنها نیست بلکه مساله آن است که این تعریفها به لب مطلب برسند و از لحاظ منطقی ایرادناپذیر نباشند.
این امید را به دل راه می دهم که حتی فیلسوفان نیز، اگر آنچه را نوشته ام بی پیشداوری بررسی کنند، در آن چیزی بیابند که به کار آنان بخورد.