دید کلی
ریاضیات ، در یک دوره تاریخی و بوسیله یک ملت بوجود نیامد. بلکه محصول زمان‌های متوالی و نتیجه کار نسل‌های زیادی است. نخستین مفهومها و حکم‌های ریاضی در دوره‌های خیلی باستانی بوجود آمد و بیش از دو هزار سال پیش بصورت دستگاه استواری درآمد؛ با وجود آنکه ، ضمن عبور از یک دوره به دوره دیگر ، تغییرهایی در ریاضیات بوجود می‌آید، مفهومها و نتیجهگیریهای آن (مثل قانونهای حساب و قضیه فیثاغورس) به قوت خود باقی می‌ماند. نظریه‌های تازه شامل موفقیت‌های پیشین هم هست، ولی آنها را دقیق‌تر، کامل‌تر و کلی‌تر می‌کند.
قانون های کلی پیشرفت ریاضیات
رابطه‌های کمی واقعیت ، در همه زمینه‌های تازه خود ، میدان عمل ریاضیات را تشکیل می‌دهد و ضمن این که مهم‌ترین موضوع ریاضیات ، شکل‌های فضایی و رابطه‌های کمی بوده است و هنوز هم هست، مفهوم ریاضی‌دان به رابطه‌ها و نسبت‌های تازه بر اساس مجموعه تصویرهای علمی ، که درباره فضا و کمیت داریم، انجام می‌گیرد. سرانجام ، جمع‌شدن نتیجه‌های ریاضی ، همان‌طور که به ناچار به درجه‌های تازه‌ای از انتزاع می‌رسد و مفهوم‌های تعمیم‌دهنده تازه‌ای بوجود می‌آورد، همان‌طور هم به تحلیل عمیق‌تری از اصل‌ها و مفهوم‌های مقدماتی ریاضیات می‌رسد. همان‌طور که درخت بلوط در رشد و نیرومندش ، شاخه‌های کهن را بوسیله قشرهای تازه‌ای می‌پوشاند، شاخه‌های تازه به بار می‌آورد، به سمت بالا قد می‌کشد و به سوی پایین ریشه می‌دواند، ریاضیات هم در پیشرفت خود ، مصالح تازه‌ای به رشته‌های موجود اضافه می‌کند، رشته‌های تازه‌ای بوجود می‌آورد، به طرف قله‌های تازه انتزاع بالا می‌رود و در اصل‌های خود عمیق‌تر می‌شود.
ریاضیات عبارت است از شکل‌ها و رابطه‌های حقیقی واقعیت ، ولی برای این که این شکل‌ها و رابطه‌ها را بصورت خالص بررسی کنیم، لازم است آنها را از مضمون خود جدا کنیم و این مضمون را به عنوان چیزی که مورد استفاده ما نیست به کناری بگذاریم. ولی شکل و رابطه ، خارج از مضمون خود وجود ندارد و شکل‌ها و رابطه‌ها ریاضی هم نمی‌توانند نسبت به محتوی ، به طور مطلق ، بی‌تفاوت باشند. بنابراین ریاضیات که به مناسبت ماهیت خود کوشش می‌کند این جدایی را بوجود آورد، به انجام امر محالی دست می‌زد. این هم یکی از تضادهای اساسی در ماهیت ریاضیات است که تظاهری از تضاد کلی مربوط به شناخت ، درباره ریاضیات می‌باشد. از بین رفتن و بوجود آمدن دایمی این تضاد ، در مرحله‌ای از شناخت که به ترتیب به واقعیت نزدیک و نزدیک‌تر می‌شود، نیز ماهیت پیشرفت را نشان می‌دهد. البته در این میان ، جنبه مثبت شناخت ، یعنی وجود عنصرهای حقیقی محض در آن ، نقش تعیین‌کننده را برای شناخت بازی می‌کند شناخت ، روی یک منحنی صعودی بالا می‌رود، نه آن که بطور ساده با اشتباهاتی آمیخته باشد و درجای خود درجا بزند. تغییر شناخت یعنی چیرگی دایمی بر عدم وقتها و محدودیت‌هایی که در آن است.
عمل اجتماعی ، در پیشرفت ریاضیات از سه جهت نقش تعیین کننده‌ای بازی می‌کند:
نخست مساله‌های تازه‌ای در برابر ریاضیات قرار می‌دهد، دوم انگیزه پیشرفت آن در جهت معینی می‌شود و سرانجام درستی نتیجهگیریهای آن را تصدیق می‌کند. این مطلب به صورت روشنی درباره پیدایش آنالیز دیده می‌شود: نخست- به ویژه پیشرفت مکانیک وضعیت ، رابطه‌های کمیت‌های متغیر را بصورت کلی مطرح کرد. ارشمیدس با وجودی که به آستانه حساب دیفرانسیل و انتگرال رسید، در چارچوب مساله‌های استاتیک باقی ماند، در حالی که در عصر جدید، بویژه بررسی حرکت بود که مفهوم‌های متغیر و تابع را بوجود آورد و باعث تنظیم آنالیز شد. نیوتن بدون یاری روش‌های ریاضی نمی‌توانست مکانیک را به پیش ببرد.
دوم: بویژه ، نیازهای تولیدی اجتماع بود که دانشمندان را وادار کرد تا روی همه این مساله‌‌ها توقف و آنها را حل کنند. نه در دوران باستان و نه در جامعه سده‌های میانه ، یک چنین انگیزه‌ای وجود نداشت. سرانجام ، این ویژگی‌های آنالیز ریاضی است که نتیجهگیریهای آن در زمان بوجود آمدن و تولدشان متکی به عمل بود و تنها به همین علت است که آنالیز ریاضی ، بدون اینکه تعریفی دقیق از مفهوم‌های اساسی آن ( متغیر ، تابع ، حد ) بشود، توانست پیشرفت کند. کاربرد آنالیز در مکانیک ، فیزیک و صنعت درستی آن را تایید کرد.
ریاضیات نه تنها همیشه زیر تاثیر جدی تولید اجتماع است ، بلکه در عین حال از مجموعه شرطهای اجتماعی متاثر می‌شود. پیشرفت درخشان ریاضیات در دوره اوج یونان باستان ، موفقیت‌های جبر در دوره رستاخیز "رنسانس" در ایتالیا ، پیشرفت آنالیز در دوره پس از انقلاب انگلستان ، موفقیت‌های ریاضیات در فرانسه در دورانی که از انقلاب فرانسه آغاز می شود، همه اینها بطور متقاعد کننده‌ای بستگی جدانشدنی پیشرفت ریاضیات را با پیشرفت عمومی اجتماع در زمینه صنعت ، فرهنگ و سیاست نشان می‌دهد.
همین مطلب را به روشنی درباره پیشرفت ریاضیات در روسیه هم می‌توان دید. مستقل شدن مکتب ریاضیات روسیه را که از زمان لباچوسکی ، استروگرادسکی و چبشیف آغاز می‌شود، نمی‌توان از پیشرفت اجتماع روسیه بطور کلی جدا کرد. دوره لباچوسکی ، دوره پوشکین و گلینکا و دکابرسیت‌ها است و شکفتگی یکی از عنصرهای اجتماع را نشان می‌دهد.
نتیجه
کوتاه سخن ، همیشه محتوی عینی دانش در یک شکل ایدئولوژیک ، مثل سایر دانشها ، نقش با اهمیتی در پیشرفت ریاضیات دارد.