هندسه ی اقلیدسی، همان هندسه ای است که شما در دبیرستان و راهنمایی خوانده اید یا می خوانید. هندسه ای است که بیش تر برای تجسم جهان مادی به کار می بریم. این هندسه از کتابی به نام اصول به دست ما رسیده که توسط اقلیدس ، ریاضی دان یونانی ، در حدود ۳۰۰ سال پیش از میلاد مسیح نگاشته شده است . تصوری که ما بر اساس این هندسه ازجهان مادی پیدا کرده ایم تا حدی زیاد توسط آیزاک نیوتن در اواخر سده ی هفدهم ترسیم شده است. اقلیدس شاگرد مکتب افلاطون بود.درحدود ۳۰۰ سال پیش از میلاد، روش قاطع هندسه ی یونانی و نگره ی اعداد را دراصول سیزده جلدیش منتشر کرد. با تنظیم این شاهکار، اقلیدس تجربه وکارهای مهم پیشینیان خود را در سده های جلوتر گردآوری کرد.کار عظیم اقیدس این بودکه چند اصل ساده ، چند حکم که بی نیاز به توجیهی پذیرفتنی بودند را دستچین کرد واز آن ها ۴۶۵گزاره نتیجه گرفت که بسیاری از آن ها پیچیده بودند و به طور شهود ی بدیهی نبودند وتمام اطلاعات زمان او را دربرداشتند .
یک دلیل زیبایی اصول اقلیدس این است که این همه را از آن اندک نتیجه گرفت .درافسانه آمده است که یکی از آموزندگان مبتدی هندسه از اقلیدس پرسید : ( از آموختن این مطالب چه عاید من می شود ؟ ) اقلیدس غلامش را خواند وگفت ((سکه ای به او بده ، چون که می خواهد از آن چه که فرا می گیرد، چیزی عایدش شود )).
پنج اصل اقلیدس
ـ اصل اول اقلیدس : به ازای هر نقطه ی p وهر نقطه ی Q که با p مساوی نباشد، خط یکتایی وجود داردکه برp و Q می گذرد. این اصل اغلب به صورت غیر رسمی چنین بیان می شود : "هر دو نقطه یک خط منحصر به فرد را مشخص می سازند ."
ـ اصل دوم اقلیدس : به ازای هر پاره خط AB وهر پاره خط CD نقطه ی منحصر به فردی چون E وجود دارد، چنان چه؛ B میان A وE واقع است وپاره خط CD با پاره خط BE قابل انطباق است . این اصل اغلب به طور غیر رسمی چنین بیان می شود : "هر پاره خط AB را می توان به اندازه ی پاره خط BE ، که با پاره خط CD قابل انطباق است امتداد داد ."
ـ اصل سوم اقلیدس : به ازای هر نقطه ی A که با O مساوی نباشد، دایره ای به مرکز O وشعاع OA وجود دارد .
ـ اصل چهارم اقلیدس : همه ی زاویای قائمه باهم قابل انطباق هستند.
چهار اصل اول اقلیدس همیشه به راحتی مورد قبول ریاضی دانان بوده است. ولی اصل پنجم ( اصل توازی ) تا سده ی نوزدهم موجب جدل و چون و چرا بوده است درواقع چنان چه که بعداً خواهید دید توجه به صورت های مختلف اصل توازی اقلیدس است که موجب بسط و توسعه ی هندسه های نااقلیدسی شده است .
دراین جا ما اصل توازی اقلیدس را بیان می کنیم ( به خاطر دشواری هایی که وجود دارد ) وبه جای آن اصل پلی فر را که معادل اصل توازی اقلیدس است بیان می کنیم .
ـ اصل پنجم اقلیدس ( اصل پلی فر یا اصل توازی ) : به ازای هر خط L وهر نقطه ی p غیر واقع برآن، تنها یک خط مانند m وجود دارد چنان چه از p می گذرد و با L موازی است . اصل پنجم با هر چهار اصل دیگر متفاوت است . بدین معنی که ما نمی توانیم به طور تجربی تحقیق کنیم که آیا دو خط هم دیگر را قطع می کنند یانه . زیرا که ما فقط پاره خط ها را می توانیم رسم کنیم نه خطها را . می توانیم پاره خط ها را بیش از بیش امتداد دهیم تا ببینیم که آیا هم دیگر قطع می کنند یا نه، ولی نمی توانیم آن ها را تا بی نهایت امتداد دهیم .
ریاضی دانان درطول دو هزار سال تلاش کردند تا آن را از چهار اصل دیگر نتیجه بگیرند و یا اصل دیگری را که به خودی خود بداهت بیش تری داشته باشد، جانشین آن سازند. همه ی تلاش ها برای این که آن را از چهار اصل دیگر نتیجه بگیرند به ناکامی انجامید . ریاضی دانان به تدریج ناامید می شدند .
ولی در اوایل سده ی نوزدهم دو هندسه ی دیگری پیشنهاد شد . یکی هندسه ی هذلولوی ( از کلمه ی یونانی هیپر بالئین به معنی افزایش یافتن که در آن فاصله ی میان نیم خط ها افزایش می یابد و دیگری هندسه ی بیضوی (از کلمه ی یونانی الیپن به معنی کوتاه شدن) که در این ، فاصله رفته رفته کم می شود و سرانجام نیم خط ها هم دیگر را می برند (قطع می کنند). این هندسه های نا اقلیدسی بعد ها توسط ک. ف . گاؤس و گ. ف. ب ریمان در قالب هندسه ی کلی تری بسط داده شدند.
هندسه ی هذلولوی تنها به تغییر یکی از اصول اقلیدس نیاز دارد و می تواند به همان آسانی هندسه ی دبیرستانی فهمید ه شود. ولی در مورد هندسه های دیگر، مثل هندسه ی بیضوی ، بحث خیلی مشکل تر می باشد و درک آن نیاز به دانستن مفاهیم زیادی دارد که از حوصله ی بحث ما خارج است.
ـ قضیه ی کلی هذلولوی: درهندسه ی هذلولوی به ازای هر خط L و هر نقطه ی p غیر واقع بر L لااقل دو خط موازی با L ازp می گذرند .دانش آموزان می توانند این قضیه را با اصل پنجم اقلیدس که درصفحات قبل آمده است مقایسه نمایند وتفاوت های این دو هندسه را به وضوح مشاهده کنند .
ـ قضیه : درهندسه ی هذلولوی مستطیل وجود ندارد ومجموع زوایای همه ی مثلث ها از است .
ـ فرع: درهندسه ی هذلولوی همه ی چهار ضلعی های کوژ، مجموع زوایایی کم تر از دارند .