آیا تا به حال به این فکر کرده اید که چگونه می توانید ارتفاع ساختمان محل سکونت خود را فقط به کمک یک خط کش اندازه بگیرید؟ مسلماً ارتفاع ساختمان محل سکونت شما خیلی بلندتر از یک خط کش بود و باید راه راحت تری برای محاسبه ارتفاع ساختمان بدون اندازه گیری مستقیم پیدا کنید. این راه راحت تر (که در ادامه توضیح آن را می خوانید) استفاده از شکل های متشابه است. شکل های متشابه کاربردهای بسیاری در زندگی ما دارند. برای مثال، یکی از بهترین راه های دادن آدرس به افراد، استفاده از نقشه است. نقشه تصویری از دنیای واقعی در ابعاد کوچکتر و متشابه با آن است. نقشه های جغرافیایی تصویرهای متشابهی از وضعیت واقعی را نشان می دهند. در کنار هر نقشه معمولا مقیاس آن نوشته می شود. برای مثال اگر مقیاس نقشه ای یک پنجاه هزارم باشد، یعنی طول فاصله ها روی آن نقشه، 50000 بار کوچکتر از فاصله واقعی است. به کمک مقیاس داده شده می توان اطلاعاتی از قبیل مساحت یک استان، کشور، محیط یا طول خط مرزی یک استان یا فاصله ی بین دو شهر را اندازه گیری کرد. چون نقشه با شکل واقعی کشور متشابه و مقیاس داده شده برای نقشه همان نسبت تشابه است، دانستن نسبت محیط ها و مساحت های شکل های متشابه بر حسب نسبت تشابه اهمیت پیدا می کند.
همچنین برای مهندسان راه و ساختمان و معماران یا طراحان، هنگام ساختن یک پروژه ساختمانی یا یک وسیله، طراحی ماکتی که مشابه با ساختمان یا وسیله اصلی است، کمک مهمی به حساب می آید. در دو شکل متشابه، اندازه های اجزای یک شکل با اندازه های اجزای نظیر در شکل دیگر متناسب هستند و این ویژگی در ساختن تمام ماکت ها رعایت می شود. اگر به اسباب بازی هایی که کودکان هنگام بازی از آنها استفاده می کنند نیز دقت کنید، مفهوم تشابه را به خوبی درک خواهید کرد. تفاوت اسباب بازی هایی نظیر هواپیما، ماشین و... با مدل واقعی آنها در این است که اندازه های اجزای اسباب بازی ها نسبت به مدل واقعی شان خیلی کوچکتر است.
یکی دیگر از مثال های ملموس شکل های متشابه، عکس بزرگ شده یا کوچک شده ی چهره ی انسان است. در عکس های 4× 3 و 20× 25 نسبت فاصله ی دو چشم برابر با نسبت فاصله ی بینی تا دهان در دو عکس است. به همین ترتیب، نسبت موجود در تمام اجزای متناظر در دو تصویر ثابت می ماند، یعنی به جز اندازه های ابعاد دو عکس، تفاوت دیگری بین این دو تصویر دیده نمی شود و در واقع با دیدن هر یک از آنها می توانید صاحب عکس را در نظر مجسم کنید.
در هندسه ی مسطحه دو n ضلعی متشابه هستند، هرگاه اولا – زاویه های آنها نظیر به نظیر برابر باشند، ثانیا – اضلاع متناظر آنها متناسب باشند که به نسبت دو ضلع «نسبت تشابه» گفته می شود. به همین ترتیب در مورد دو مثلث متشابه خواهند بود اما دو مثلث با شرایط کمتری متشابهند. زیرا می توان ثابت کرد که با برقراری شرایط کمتری برای تشابه دو مثلث، بقیه شرایط تشابه برقرار می باشند. حالت های تشابه دو مثلث مختلف الاضلاع عبارتند از:
1) اگر دو زاویه از یک مثلث با دو زاویه از مثلث دیگر برابر باشند، آن دو مثلث متشابه اند.
2) اگر یک زاویه از یک مثلث با یک زاویه از مثلث دیگر برابر و ضلع های این زاویه ها متناسب باشند، آنگاه آن دو مثلث متشابه اند.
3) هرگاه سه ضلع از مثلثی با سه ضلع از مثلث دیگر متناسب باشند، آن دو مثلث متشابه اند.
اینک می توانید با کمک مثلث های متشابه و یک خط کش ارتفاع ساختمان محل سکونت خود را اندازه بگیرید. بدین منظور در هنگام ظهر، که طول سایه ها خیلی کوتاه است و اندازه گیری آن با خط کش امکان پذیر می باشد، طول سایه ی ساختمان خود را که بر زمین عمود است و طول سایه ی خود را در حالت ایستاده به وسیله خط کش اندازه بگیرید. سپس قامت و سایه ی خود و همچنین ساختمان و سایه ی آن را ضلع های دو مثلث قائم الزاویه در نظر بگیرید و با نوشتن نسبت ضلع های نظیر در دو مثلث متشابه، ارتفاع ساختمان را بدست آورید. (به شکل 1 دقت کنید.)
البته محاسبه ی ارتفاع یک ساختمان به کمک سایه ی آن، مسئله ای بوده است که با وجود سادگی آن حلش قرنها به طول کشیده است و به اندازه ی کافی وقت ریاضی دانان بزرگ را گرفته است. در حالی که امروزه تقریبا جزو مسئله های ساده محسوب می شود. این مسئله که به وسیله ی تالس در سده ی ششم تا هفتم قبل از میلاد طرح وحل شد، محاسبه ی ارتفاع یک هرم به کمک سایه ی آن بود. اگر ارتفاع مجهول هرم را X، طول سایه ی آن را a، فاصله مرکز قاعده هرم تا وسط یک یال آن را c، ارتفاع یک تیر قائم را 1 و طول سایه ی آن را B بنامیم، خواهیم داشت:
این مسئله که امروز این قدر ساده به نظر می رسد در آن زمان کشف فوق العاده ای بود. تالس هنگامی که از مصر به یونان برگشت، مسئله ی معروف مربوط به تعیین فاصله ی کشتی از ساحل را حل کرد. مطابق شکل (3) برای تعیین فاصله ی کشتی از ساحل، بدون گذشتن از عرض رودخانه، نقطه ی C را به فاصله ی مثلا 10 متر از نقطه ی ساحلی مورد نظر انتخاب می کنیم و اندازه ی زاویه های ABC و ACB را تعیین می کنیم. سپس مثلث ABC را متشابه با مثلث ABC می سازیم به قسمی که B=B و C =C باشد، آنگاه با اندازه گیری پاره خط های BC و AB و نوشتن تناسب بین اضلاع دو مثلث متشابه، طول AB یعنی فاصله ی کشتی از ساحل را بدست می آوریم.
اگرچه امروزه هر برج یا ساختمانی که ساخته می شود از قبل اندازه ی ارتفاع آن مشخص است، اما اگر احیانا از فرط علاقه به ریاضیات، تصمیم گرفتید با کمک مثلث های متشابه ارتفاع یا ساختمان را اندازه بگیرید، کافی است یک مثلث قائم الزاویه با اندازه ی اضلاع زاویه ی قائمه مشخص و دلخواه بسازید و در فاصله معینی از برج بایستید. این فاصله می تواند از یک متر تا 100 متر باشد. آنگاه با نگاه کردن درامتداد وتر مثلث قائم الزاویه نوک برج را ببینید و سپس با استفاده از نوشتن تناسب بین اضلاع مثلث های متشابه، ارتفاع برج را بیابید. البته فراموش نکنید که در آخر فاصله ی چشم خود را از زمین به عدد بدست آمده اضافه کنید. (شکل 4)
مآخذ: دایره المعارف هندسه، جلد 3، انتشارات مدرسه