تعریف کلی
اعداد خوشحال عدد صحیح مثبتی را در نظر بگیرید و مجموع مربعات ارقام آن را به عنوان عدد بعدی بنویسید. این کار را ادامه دهید. در صورتیکه این رویه به عدد یک ختم شود عدد اصلی شما یک عدد خوشحال (happy number) نامیده می‌شود در غیر این صورت آن عدد یک عدد غیرخوشحال (unhappy number یا sad number) می‌باشد.
به طور مثال: در مورد عدد ۷ داریم:
۷۲ = ۴۹
۴۲ + ۹۲ = ۹۷
۹۲ + ۷۲ = ۱۳۰
۱۲ + ۳۲ + ۰۲ = ۱۰
۱۲ + ۰۲ = ۱
پس عدد ۷ یک عدد خوشحال است.
و در مورد عدد ۴ داریم:
۴۲ = ۱۶
۱۲ + ۶۲ = ۳۷
۳۲ + ۷۲ = ۵۸
۵۲ + ۸۲ = ۸۹
۸۲ + ۹۲ = ۱۴۵
۱۲ + ۴۲ + ۵۲ = ۴۲
۴۲ + ۲۲ = ۲۰
۲۲ + ۰۲ = ۴
پس عدد ۴ یک عدد غیر خوشحال است.
تعریف رسمی
عدد معلوم n=n0 را در نظر بگیرید. توالی از اعداد n1 ,n2, n3 و... را در نظر بگیرید به طوریکه ni+1 مجموع مربعات ارقام ni باشد. آنگاه n یک عدد خوشحال است اگر و تنها اگر وجود داشته باشد i ای که ۱=ni.
ویژگی مهم
اگر یک عدد خوشحال باشد تمام اعضای توالی آن نیز خوشحال خواهند بود و اگر عددی غیرخوشحال باشد تمام اعداد توالی آن نیز غیر خوشحال خواهند بود. ۷ یک عدد خوشحال است پس اعداد حاصل از آن در توالی اعداد هم خوشحال هستند.
عدد اول خوشحال
یک عدد اول خوشحال، عدد خوشحالی است که اول باشد.
همهٔ اعداد و در نتیجه همه اعداد اول به شکل 3 + 10n و 10n + 9 اعداد خوشحال هستند. (اولی را می‌توان 13 و دومی را می‌توان 19 در نظر گرفت و از صفرها صرف نظر کرد.)
- تمام اینگونه اعداد، دست کم دو رقمی هستند.
- رقم اول تمام این اعداد، (بخاطر 10n) برابر 1 خواهد بود.
- رقم آخر این اعداد، 3 یا 9 خواهد بود.
- تمام رقم های دیگر این اعداد، 0 خواهد بود. (و در مجموع مربعات ارقام، تأثیری نخواهند داشت.)
- توالی اعدادی که به 3 ختم می شوند بصورت زیر خواهد بود:
12 + 32 = 10 → 12 = 1
- توالی اعدادی که به 3 ختم می شوند بصورت زیر خواهد بود:
12 + 92 = 82 → 82 + 22 = 64 + 4 = 68 → 62 + 82 = 36 + 64 = 100 → 1
-- عدد اول پالیندرومی زیر که 150,007 رقم دارد نیز خوشحال است: (تعداد صفرهای آن در محاسبه مجموع مربعات ارقام، بی تأثیر است)
10150006 + 7426247×1075,000 + 1
و بنابراین خواهیم داشت:
12 + 72 + 42 + 22 + 62+ 22 + 42 + 72 + 12 = 176
و از آنجایی که عدد 176، عددی خوشحال است، پس عدد مذکور نیز خوشحال است.
(این عدد اول در سال 2005 توسط پاول جابلینگ (Paul Jobling) کشف شد.)
-- بزرگترین عدد اول خوشحال کشف شده (2010) که شامل 12,837,064 رقم می باشد (و یک عدد اول مرسن است) برابر است با:
242643801-1
اعداد خوشحال کمتر از ۵۰۰
اعداد خوشحال کمتر از ۵۰۰ عبارتند از:
۱, ۷, ۱۰, ۱۳, ۱۹, ۲۳, ۲۸, ۳۱, ۳۲, ۴۴, ۴۹, ۶۸, ۷۰, ۷۹, ۸۲, ۸۶, ۹۱, ۹۴, ۹۷, ۱۰۰, ۱۰۳, ۱۰۹, ۱۲۹, ۱۳۰, ۱۳۳, ۱۳۹, ۱۶۷, ۱۷۶, ۱۸۸, ۱۹۰, ۱۹۲, ۱۹۳, ۲۰۳, ۲۰۸, ۲۱۹, ۲۲۶, ۲۳۰, ۲۳۶, ۲۳۹, ۲۶۲, ۲۶۳, ۲۸۰, ۲۹۱, ۲۹۳, ۳۰۱, ۳۰۲, ۳۱۰, ۳۱۳, ۳۱۹, ۳۲۰, ۳۲۶, ۳۲۹, ۳۳۱, ۳۳۸, ۳۵۶, ۳۶۲, ۳۶۵, ۳۶۷, ۳۶۸, ۳۷۶, ۳۷۹, ۳۸۳, ۳۸۶, ۳۹۱, ۳۹۲, ۳۹۷, ۴۰۴, ۴۰۹, ۴۴۰, ۴۴۶, ۴۶۴, ۴۶۹, ۴۷۸, ۴۸۷, ۴۹۰, ۴۹۶.
-- تعداد 143 عدد خوشحال زیر 1000 وجود دارند.
-- اعداد خوشحال را می توان با جابجایی ارقام و اضافه و کم کردن صفرهای درون عدد نیز بوجود آورد.
-- ترکیب یکتا در بین اعداد خوشحال زیر 1000 به شرح زیر است: (بقیه یا از جابجایی ارقام بوجود می آیند یا تعدادی صفر به ارقام آن عدد اضافه می شود.)
1, 7, 13, 19, 23, 28, 44, 49, 68, 79, 129, 133, 139, 167, 188, 226, 236, 239, 338, 356, 367, 368, 379, 446, 469, 478, 556, 566, 888, 899
-- اگر عدد n شامل m رقم باشد، مجموع مربعات ارقامش، حداکثر می تواند 92m یا 81m باشد.
-- تعداد اعداد خوشحال و اعداد غیرخوشحال (اعداد ناراحت)، نامتناهی است. به اثبات ساده زیر توجه کنید:
- عدد 1، یک عدد خوشحال است. و برای هر عدد n، عدد 10n، یک عدد خوشحال خواهد بود زیرا به مجموع 1 می رسد.
- برای هر عدد n، عدد 10n×2 عددی غیرخوشحال است زیرا به مجموع 4 می رسد و 4 یک عدد غیرخوشحال است.
-- اولین دو عدد متوالی خوشحال، اعداد 31 و 32 هستند. اولین سه عدد متوالی خوشحال نیز، اعداد 1880، 1881 و 1882 هستند.
-- سؤال جالب که مطرح است اینست که چگالی اعداد خوشحال (به نسبت کل اعداد) چقدر است. بررسی ها نشان می دهد که در بازه [1,10122]، حدود 15.5% از اعداد، عددهای خوشحال هستند.
-- تعداد اعداد خوشحال کوچکتر یا مساوی 10n را در زیر مشاهده می کنیم:
n=1: 1
n=2: 3
n=3: 20
n=4: 143
n=5: 1442
n=6: 14377
n=7: 143071
n=8: 1418854
n=9: 14255667
n=10: 145674808
n=11: 1492609148
n=12: 15091199357
n=13: 149121303586
n=14: 1443278000870
n=15: 13770853279685
n=16: 130660965862333
n=17: 1245219117260664
n=18: 12024696404768025
n=19: 118226055080025491
n=20: 1183229962059381238
n=21: 12005034444292997294