مسئله ریاضی به معنی وسیع کلمه شامل فضایا، تمرنیات و سوالات است. مسائلی از نوع قضایا و تمرینات و سوالات، آنهایی هستند که جوابی داشته و این جواب را می‌توان در متن درس‌های کلاس یافت ولی مسائلی هم هست که جواب‌های آنها در متون درسی نبوده و یک راه حل کلی برای آنها وجود نداد که برای حل‌شان نیاز به‌دانستنی‌های بیشتر، مهارت‌ها و تجربیات زیادتری است و این مسائل کم نیستند. مسائل دیگری هم وجود دارند که برایشان جوابی وجود ندارد.
یکی از مشکلات آموزش ریاضی این است که نمی‌توان دقیقاً به دانش‌آموزان آموخت‌که چگونه مسئله را حل کنند، روش عمومی و کلی برای همه انواع مسائل ریاضی وجود ندارد. در واقع برای اثبات یا رد هر گزاره‌ای در ریاضیات روش ویژه‌ای وجود ندارد. البته می‌توان دستوراتی را به کاربرد تا در این زمینه توفیق نسبی بدست آورد.
توصیه جورج پولیا در این است که به دانش‌آموزان امکان بدهیم در صورت تنظیم مسأله که باید حل کنند شرکت داشته باشند.اگر شاگرد ردپای کار خودش را در طرح مسأله‌ها ببیند خیلی فعال‌تر درباره آن خواهد کوشید. بنابراین اگر شرایطی فراهم کنیم که دانش‌آموز بتواند مسأله‌های خاص‌خودش را طرح کند نه تنها او را به کاری جدی‌تر تحریک، بلکه نیروی خلاقیت ذهنی‌او را تقویت کرده‌ایم.
تأثیر تکرار و تمرین در یادگیری
پرواضح است که تمرین به‌عنوان یکی از انگیزه‌های یادگیری است.اما به لحاظ نقش واهمیت تمرین و تکرار در یادگیری یادسپاری، این‌مقوله بررسی می‌شود. پاتریشیا ولف می‌نویسد زمانی مارک توابن گفته است که «اگر تدریس مثل تکلم بود ماآنقدر باهوش می‌شویم که نمی‌توانستیم آن را تحمل کنیم» متأسفانه او درست‌می‌گفت چون تدریس مانند تکلم نیست. تدریس، هدایت و تسهیل در تشکیل‌ارتباطات عصبی در مغز شاگردان است، اگر کسی به شطرنج بازی بگوید که چه کاربکند، آن شطرنج‌باز حرفه‌ای نخواهد شد. او باید خودش این کار را بکند و هزاران باربازی کند تا با الگوها آشنا شود و اطلاعات را طوری در ذهنش سازماندهی کند تابتواند آنها را به صورت تکه‌ای ببیند. شاگردان ما نیز همین‌طور هستند. ما تجربه وراهنمایی در اختیارشان قرار می‌دهیم. اما آنها خود باید کار کنند بنابراین، این کارشخصی آنها باید به چه شکل باشد؟ همان‌طور که می‌توان حافظه فعال را با تکه‌ای‌کردن اطلاعات تقویت کرد، می‌توان طول مدت ذخیره اطلاعات را با کار کردن بیشترکرده این فرایند تمرین یا تکرار نامیده می‌شود راه‌های زیادی برای تمرین اطلاعات بایک مهارت وجود دارد. یکی از آنها که تکرار نامیده می‌شود از بارها و بارها تکراراطلاعات با یک فعالیت تشکیل شده است.
تکرار برای یاد گرفتن یک روند (یک مهارت یا عادت) بسیار مؤثرتر است تا حفظ‌کردن شماره تلفن زیرا تکرار برای تشکیل ارتباطات عصبی قوی جهت فراگیری یک‌مهارت یا عادت به صورت خودکار ضروری است. رانندگی بدون توجه خودآگاه یارمزگشایی یک متن به‌طور خودکار به نحوی که قادر باشد تا روی معنای چیزی که‌می‌خوانید تمرکز کنید، نیازمند تکرار یا تمرین مداوم این مهارت‌هاست شمانمی‌توانید شنا کردن یا پیانو زدن را با خواندن کتاب در مورد آنها قرار بگیرند. بنیامین‌بلوم (۱۹۸۶) فرایند خودکار بودن را اینطور توصیف کرده «توانایی انجام یک مهارت‌به صورت ناخودآگاه با سرعت و درستی همزمان با انجام خودآگاه فعالیت‌های دیگرمغزی».
نوعی از تمرین، تمرین تشریحی است که یک شاخه وسیع است و روشهای زیادی رادر برمی‌گیرد. این روش‌ها دانش‌آموزان را تشویق می‌کند تا اطلاعات را به نحوی‌تشریح کند که مهم و یادسپاری آن را تقویت می‌کند. روشهای تشریحی معمولاً به‌دلیل معنادارتر کردن یا مربوط کردن اطلاعات به دانش‌آموز، حافظه را تقویت‌می‌کند. درک کردن رویداد تاریخی، یا الگوریتم ریاضی یا فرمول در شیمی از این نوع‌تمرین هستند.
الف) تعداد مسئله‌هایی که در یک نوبت به دانش‌آموزان می‌دهیم از ۵ تا بیشتر نباشد.
ب) سعی کنیم حل مسئله در طول سال استمرار داشته باشد، در کتابها تمام‌مسئله‌هایی را که برای دانش‌آموز منظور شده در یک نوبت به‌عنوان تکلیف به‌دانش‌آموزان ندهیم.
ج) اگر در کتاب مسائلی است که برای دانش‌آموزان آن کلاس مشکل است یک‌راهنمایی مختصری به آنها اضافه کنیم.
د) در صورتی که وقت کلاس اجازه دهد و فضای یادگیری مناسب باشد چند مسئله رادر کلاس به صورت گروهی مثل کار در کلاس انجام دهیم.
مثال : تمرین و مسئله ریاضی
تمرین ۱) ?= ۳ + ۲
تمرین ۲) ? =(۲×۱۰) +(۳ × ۶)
مسئله برای تمرین ۱ ـ علی دو کتاب قصه در کتابخانه‌اش در داشت، سه کتاب قصه‌دیگر هم در هفته کتاب خرید او اکنون چند کتاب قصه در کتابخانه‌اش دارد؟
مسئله برای تمرین ۲ ـ در کلاس سوم الف مدرسه حافظ ۶ نیمکت ۳ نفره و در کلاس‌سوم ب ۱۰ نیمکت ۲ نفره موجود است. روی هم در کلاس سوم چند نیمکت موجوداست.
مسئله‌ها و تمرین‌ها
برخلاف تمرین‌ها که عمدتاً تکرار و بازسازی شده درس می‌باشند معمولاً حل آنهاساده است. اما مسئله‌ها در دنیای خارج از کلاس منعکس است، به عبارتی مسئله‌هابیشتر به دنیای واقعی مربوط هستند و در حل آنها دانش‌آموزان باید مدل‌سازی‌ریاضی انجام دهند. حل مسئله‌های ریاضی جان کلام ریاضی است اگر ریاضیاتی راکه آموزش می‌دهیم، در دانش‌آموز توانایی به‌وجود نیاورد، نمی‌تواند آنچه را که‌آموخته است در حل مسائل پیرامونش به کار گیرد. کاری نکرده‌ایم و در راه نیل به‌هدف‌های آموزشی نیز ناموفق عمل کرده‌ایم، تنها محفوظاتی را در ذهن دانش‌آموزانباشته‌ایم که آن هم سودی ندارد، از آنجایی که هدف حل تمرین تثبیت یادگیری‌است ولی مسئله کاربرد آن در دنیای واقعی است لذا برای تقویت دانش‌آموزان در حل‌مسئله توصیه‌های زیر مفید است.
چگونگی توسعه توانایی‌های حل مسئله‌ها ریاضی در دانش‌آموزان
گالیله می‌گفت «ریاضیات زبان طبیعت است» یعنی برای شناختن قانون‌هایی که برطبیعت حکومت می‌کنند باید به ریاضیات و روشهای آن آشنا بود، ولی در واقع کار به‌سادگی نیست. اگر کسی ریاضیات را بیاموزد با دستورهای و قانون‌ها و روشهای عمل آن آشنا نباشدنمی‌تواند اطمینان داشته باشد که از عهده حل مسئله‌ای از زندگی و طبیعت برمی‌آید. هر مسئله تازه‌ای روش تازه‌ای نیاز دارد و این روش را در صورت مسئله نمی‌توان به‌روشنی دید، کسی که می‌خواهد مسئله تازه‌ای را حل کند باید به جز تسلط بر دستورهاو قاعده‌ها، این توانایی را داشته باشد که ضمن جستجوی راه حل‌های مسئله، کلیداصلی را بیابد و این، ممکن نیست مگر با تمرین مداوم.
وقتی درباره حل یک مسئله می‌اندیشید معلوم نیست بتوانید در حل آن سرانجام موفق‌شوید. خود اندیشیدن، راه‌های گوناگون را آزمایش کردن، به تدریج ذهن را برای مبارزه با هردشواری تازه‌ای آماده می‌کند. اگر می‌بینید در مسابقه‌های ریاضی (مثلا درالمپیادهای داخلی یا جهانی)، مسئله‌هایی را مطرح می‌کنند که با مسئله‌های عادی‌متفاوت است، به این دلیل است که نیرو و توان ذهنی شرکت کنندگان را بیازمایند چراکه خلاقیت ریاضی، در درجه اول، با تمرین‌های طولانی به دست می‌آید.
صورت مسئله را با دقت و چند بار بخوانید، بعد بدون اینکه دست به قلم ببرید، اندکی‌بیندیشید، از کجا و چگونه باید آغاز کرد به چه رابطه‌ای بین داده‌ها یا خواسته‌های‌مسئله وجود دارد؟ آیا می‌توان بدون حل مسئله پاسخ را حدس زد؟ آیا راه‌هایی برای‌آزمایش روی عددها، یا شکل‌های ساده وجود دارد؟ اگر مسئله حالتهای خاص‌ساده‌ای دارد اول آنها را برای خود مطرح کنید. همیشه برای حل یک مسئله دشوار،باید در جستجوی مسئله‌های ساده‌تری بود که البته به مسئله اصلی مربوط باشند) که‌به تلاش برای حل این مسئله‌های ساده‌تر، راهی مستقیم یا غیر مستقیم برای مسئله‌اصلی پیدا کرد.
اگر مسئله را حل کردید، با راه حل کتاب مقایسه کنید، کدام ساده‌تر و کدام زیباتراست؟ راه حل شما یا راه حل کتاب؟ اگر بعد از تلاشهای بسیار، موفق به حل آن‌نشدید، آن وقت به حل کتاب مراجعه کنید. شما با تلاش خود ولو اینکه نتوانسته‌باشید مسئله را حل کنید، سود خود را برده‌اید، تلاش شما ذهن شما را نیرومندتر کرده‌است. در ضمن با دیدن راه حل کتاب، متوجه می‌شوید چه روشهایی را مورد آزمایش‌قرار نداده‌اید یا در کجاها دچار گمراهی شده‌اید.
روی هر مسئله به اندازه کافی بیندیشید و عمل کنید. این مهمتر از آن است که موفق به‌حل آن نشوید و یا در نیمه راه بمانید. اگر روی یک مسئله به اندازه کافی اندیشیده‌باشید، حتی در حالتی که نتوانسته‌اید آن را به نتیجه برسانید، برای شما سودمندتر ازحالتی است که به راه حل چندین مسئله، به کمک دیگران و یا کتاب‌های حل مسئله،پی‌برده باشید. اگر شما به اندازه کافی در پیدا کردن حالتهای مختلف، در ترکیب عنصرها درجمع‌بندی آگاهی‌های جداگانه، تمرین داشته باشید، به تدریج چنان شبکه محکم وگسترده‌ای به وجود می‌آید به طوری که به حل مسئله‌های بعدی می‌پردازید. اندیشه‌شما به سرعت با آزادی از روی آن عبور می‌کند و آنچه را که لازم دارد حتی از تجربه‌ناآگاهانه شما، در خود جمع می‌کند.
بارها پیش می‌آید وقتی به مسئله تازه‌ای در زمینه‌ای دشوار می‌پردازید دچار یاس ودلتنگی می‌شوید، چرا که تقریباً همه حالتها و ترکیبهایی که برای حل آن در نظرمی‌گیرید، بی‌فایده از آب در می‌آید، با وجودی که از جانب‌های بسیار زیادی به آن‌حمله کرده‌اید، همه جا مواجه با بن بست شده‌اید، ولی اگر حوصله به خرج دهید وکار خود را با شکیبایی دنبال کنید به تدریج وضع عوض می‌شود، در طول زمان کارشما روشن، گویاتر و امید بخش‌تر می‌شود، کم‌کم تجربه ناآگاهانه هم به یاری شمامی‌آید، این درست مثل آموزش دوچرخه سواری است پیش از آنکه حرکت شما به‌صورت ناآگاهانه در آید، نمی‌توانید منتظر این باشید که نسبت به کار خود اعتمادداشته باشید، زمانی می‌رسد که وقتی حل مسئله‌ای را آغاز می‌کنید. می‌توانید درهمان مرحله اول، به درستی و با اطمینان عنصرها و شرط‌های لازم را انتخاب کنید.آنها را به درستی ترکیب نمایید و به راحتی خود را به مسیرهای حل مسئله برسانید،درست مثل اینکه کسی شما را که در نوع انتخاب یک حالت، از میان انواع ممکن‌حالت‌ها، کمک می‌کند و همان حالت درست مورد نظرتان را به شما نشان می‌دهد، به‌این ترتیب به اصل متکی بر فعالیت آگاهانه و متکی بر دانش یعنی اصل حرف زدن واصل از جزء به کل می‌تواند به شما کمک کند تا در حل مسئله‌ها، به حالت عادی‌خودکار و ناآگاهانه برسید.