نظراتی درباره فلاسفه
فلاسفه پیرو "رواقیون" آن را به فیزیک ، اخلاق و منطق تقسیم می کردند، برخی دیگر از فلاسفه در سال های اخیر برای آن تقسیم بندی ما بعدالطبیعه یا متافیزیک معرفت شناسی ، منطق و ارزش شناسی پیشنهاد کرده اند. علاوه بر تقسیم بندی فوق الذکر از مسائل فلسفی ، معمولا بررسی مبانی یا انگاشتهای اصولی و مقاصد هر رشته علمی نیز فلسفه نامیده می شود. بر این اساس ما طبقه بندی هایی چون فلسفه فیزیک ، فلسفه هنر ، فلسفه تاریخ و البته فلسفه ریاضی و حتی فلسفه را داریم اچ ، گوردون هولفیش بیان می دارد که:"فلسفه ماموریت دارد به انسان در تفکر عمیق تر به نتایج اعمال روزانه اش کمک کند تا انسان بتواند با حکمتی بیشتر ، آن نتایجی را برگزیند که به همه انسانها کمک می کند تا تفکرشان را عمیق تر سازند."
یک فلسفه را می توان توضیحی دانست که در آن کوشش می شود تا از مجموعه ای طبعا پراکنده از تجربیات یک معنی استخراج کند. کار یک فلسفه مشتمل بر تنظیم تجربیات و ارزش ها است. فلسفه در جستجوی روابط در میان اشیایی است که معمولا منفک از هم بشمار می آیند.
در اینجا به فلسفه های معاصر ریاضی پرداخته شده است. فلسفه هایی که پیشرفت های اخیر ریاضی را بشمار آورده و متاثر از بحران های جاری این علوم می باشند. سه فلسفه اصلی معاصر از ریاضیات وجود دارد که هر یک از گروه متنابهی از ریاضیدانان و فلاسفه را جذب و هر یک دانش عظیمی از فرهنگ خاص خود را توسعه و گسترش داده است. این فلسفه ها عبارتند از: فلسفه منطق گرایی که راسل و وایتهد ارائه دهندگان اصلی آن هستند. فلسفه شهودگرایی که توسط براور رهنمون می شود؛ و فلسفه صورت گرایی که توسط هیلبرت رشد و گسترش یافته است.
فلسفه منطق گرایی
سخن اصلی این فلسفه این است که ریاضیات شاخه ای از منطق است در این فلسفه به جای آنکه منطق فقط وسیله ای برای ریاضیات باشد. تبدیل به کل ریاضیات می شود. همه مفاهیم ریاضیات باید بر حسب مفاهیم منطقی فرمولبندی شوند، همچنین قضیه های ریاضی باید به عنوان قضایایی از منطق بیان اثبات شوند. در این دیدگاه تمایز بین منطق در ریاضیات صرفا به مناسبت جنبه عملی و آموزشی آن است. این نظریه برای نخستین بار توسط فرگه و بعدا توسط برترا اندراسل ، بی آنکه با فرگه ارتباطی یافته باشد عنوان گردید. وایتهد و راسل در کتاب عظیمی که بنام "اصول ریاضیات" تدوین کردند به دفاع از این نظریه پرداخته اند.
فلسفه شهودگرایان
از شهودگرایان این است که اشیا و برهان های ریاضیات را فقط باید با طی گام های متوالی و متناهی ساخت، گام هایی که شهودا قابل اطلاق بر اعداد طبیعی اند. بر طبق نظریه ، پایه ریاضیات غایتا بر شهود اولیه قرار دارد که بدون شک بر حس و درک ما از "قبل و بعد" می باشد که به ما اجازه می دهد که تا یک شی مشخص و منفرد را درک کنیم، و پس ادراک های بعدی متوالیا و بی پایان انجام می گیرد. در این روند ما رشته ای بی پایان بدست می آوریم که بهترین مثال آن رشته اعداد طبیعی است. سابقه شهودگرایی در فلسفه به زمان کانت ، فیلسوف آلمانی ، بر می گردد. ظاهرا درک کانت از اینکه حساب بر مبنای نیروی ذهنی شمارش قرار دارد این است که اعداد وقتی ، و فقط وقتی وجود دارند که به وسیه شمارش در دسترس باشند.
اگر کانت با مجموعه ها آشنا بود شاید هم می گفت مجموعه ها وقتی و فقط وقتی وجود دارند که عضوهای آنها را بتوان شمرد. لذا عددهای اصلی نامتناهی وجود نمی توانند داشت زیرا که به عقیده کانت عدد نامتناهی را شمردن نامقدور است. به دلیل مشابه کانت معتقد بود که در هندسه حداکثر طول وجود پیدا نمی کند، زیرا ، که هر چند می توان خط را از دو طرف امتداد داد اما آن را بطور نامتناهی نمی توان امتداد داد (زیرا که این عمل نیازمند وقت نامتناهی است) به این ترتیب هم در مورد اعداد هم در مورد خطوط ، کانت بجای پیروی از عقیده بی کران بالفعل به نظریه بی کران بالقوه یا کلیات نامعین معتقد بوده است. ارسطو هم در بحث در مسائل فلسفی از قبیل پارادوکس معروف زنون مفهوم نظریه کبیران بالقوه کانت را بکار برده است. در زمان های جدید چهره اصلی شهودگرایان که فرد را ساختارگرا می نامند ال. جی بروئور ریاضی دان هلندی است. به عقیده شهودگرایان هر چند را که نتوان صحت سقمش را ثابت کرد نه صحیح است نه سقیم. بدین ترتیب شهودگرای "قانون طرد شق وسط" وارد می کند و بین صحیح یا سقیم شق ثابت "نه صحیح و نه سقیم" را می پذیرد.
فلسفه اشراق
باید توجه داشت که مفهوم شهود در فلسفه شهودگرایی با شهود فلسفی ، آنگونه که بالاخص در بین فلاسفه استدلالی مرسوم بوده است متفاوت است. همانگونه که در فلسفه شهودگرایی ریاضی توضیح داده شد. سابقه شهودگرایی ریاضی به درک کانت فیلسوف آلمانی ، از عدد بر می گردد در حالی که فلسفه شهود در مبانی کلی فلسفی که به فلسفه اشراق معروف است به دوره پیش از ارسطو نسبت داده شده است. یعنی زمانی که فلسفه هنوز به جنبه صرفا استدلالی پیدا نکرده بود و "کشف و شهود ذهنی" هنوز عالی ترین راه برای دست یافتن به معرفت بوده است. سهروردی ، فیلسوف ایرانی و شیخ فلسفه اشراق نیز تعریف مشابهی برای حکمت اشراقی ارائه کرده است. که از تعاریف و عبارتی که سهروردی به کار برده است معلوم می شود که فلسفه (حکمت) اشراقی بر استدلال و کشف و شهود هر دو تکیه دارد که یکی از پرورش نیروهای عقلی حاصل می شود و دیگری از صفای نفس.
صورتگرایان
از صورتگرایان این است که ریاضیات با سیستمهای نماد صوری سروکار دارد در واقع از این دیدگاه ریاضیات عبارت است از گردایه ای از چنین سیستم های مجردی که مفاهیم آن صرفا نمادهای بی معنی و احکام آن فرمول هایی هستند که با این نمادها بیان می شوند. این حوزه فلسفی توسط دیوید هیلبرت درست بعد از اتمام بنداشتی کردن هندسه توسط وی پایه گذاری شد. هیلبرت در کتاب مشهور خود ، مبانی هندسه ، که در سال ۱۸۹۹ میلادی به رشته تحریر در آورده است طی روشهای بنداشتی ملموس اقلیدس را به بنداشتهای صوری امروزی تبدیل نمود. دیدگاه صورتگرایانه زمانی توسط هیلبرت رشد و گسترش یافت که می خواست بحرانی را که توسط پارادوکس های تئوری مجموعه ها بروز کرده و نیز مبارزه ای که بوسیله شهودگرایان با ریاضیات کلاسیک شروع شده بود مرتفع سازد.