چکیده:
بخش بزرگی از فلسفه ای که امروزه رواج دارد، نشأت گرفته از آراء افرادی چون «وایتهد و راسل» است که شالوده منطق ریاضی (جدید) را بنا نهادند. در واقع، منطق ریاضی را باید ازمبانی ریاضیات جدید و فلسفه تحلیلی به حساب آورد، کاری که به دست برخی از فلاسفه دراین حوزه آغاز گردید، بطور عمده به اصول ریاضیات و رابطه ریاضیات و منطق مربوط بود، اما نتایج چنان گسترده ای به بار آورد که به تدریج در فلسفه تأثیر عمیق برجای گذاشت. نگرش کلی بر پیشینه تاریخی منطق ریاضی و فراهم نمودن زمینه برای مباحث گسترده تر بعدی، از اهداف این مقاله است.
مقدمه:
ریاضیات، همواره شبهه ناپذیرترین، دقیق ترین و روشن ترین معرفت تلقی می شود. بدین جهت، بسیاری از فلاسفه در ریاضیات تحقیق کرده اند تا دریابند، ریاضیات واجد چه خصیصه ای است که نتایج حاصل از آن اینچنین وثیق و مورد اعتماد است؟ و آیا چنین خصیصه ای را می توان برای کسب سایر اقسام معرفت نیز به کار برد و روشهای آن را در زمینه های دیگر هم بکار بست یا خیر؟
این گونه پژوهشها در مفاهیم، روشها، اسلوب ها و مدل های دخیل در ریاضیات و فلسفه را «فلسفه ریاضیات» نام نهاده اند.
در واقع، میل به تعمیق فهم و درک از جهان و ساختار آن، بستگی پایداری را بین فلسفه و علوم ریاضی به وجود آورده است. اغلب فلاسفه بزرگ از ریاضیات یا علوم به فلسفه روی آورده اند. «افلاطون»[1] دستور داده بود، بر سردر مدرسه او «آکادمیا» این جمله را نصب نمایند: « کسی که هندسه نمیداند وارد نشود.»؛ برخی از بزرگترین فیلسوفان، مبدع شاخه های جدید ریاضی هستند مانند: دکارت،[2] لایپ نیتس[3] و پاسکال[4].
سه نحله عمده فلسفی که امروزه در باب مبانی ریاضیات مطرح اند؛ هر یک در ادامه مباحث مهم ریاضی و توجه به روش ریاضی، به عرصه بروز و ظهور رسیده اند و البته، هر کدام را باید متأثر از کاوش های فلسفی پیشین در باب مبانی ریاضیات دانست.[5] روش ریاضی (روش استنتاجی محض) در نزد ریاضیدانان کنونی و فیلسوفان ریاضی از اهمیت بسیار زیادی برخوردار است، تلاش اصلی در این نحله های فلسفی این است که مبانی ریاضیات از نظر واقع گرایی و نزدیکی به واقعیت تبیین گردد.
یکی از این سه نحله عمده، با عنوان «منطق گرایی» شالوده «منطق جدید» و یا «منطق ریاضی» [6] را بنا نهاد. کاری که به دست این نحله آغاز گردید بطور عمده به اصول ریاضیات ورابطه ریاضیات و منطق مربوط بود، اما نتایج چنان دامنه داری پیدا کرد، که رفته رفته در سراسر فلسفه تأثیر عمیق بر جای گذاشت.
منطق جدید، به اعتبار عنوانی که اکنون پیدا کرده است، «منطق کلاسیک» و به اعتبار تحلیل آن از استدلال های ریاضی و بحث درباره نظام های صوری، منطق ریاضی نامیده می شود و از مبانی ریاضیات جدید و فلسفه تحلیلی به حسا ب می آید.[7]
کشفیات جدید در منطق جدید از مباحث گوناگون منطق در جریان تاریخی پیچیده ای نشأت گرفته است. سیر تحول تاریخی آن را می توان با نگرش به دو جریان متفاوت در نظر گرفت. یکی از این دو تاریخ استنتاج صوری است که با ارسطو و اقلیدس شروع می شود. جریان دیگر تاریخ آنالیز ریاضی است که آغاز آن به ارشمیدس باز می گردد. این دو جریان سالهای متمادی، تا حدود قرن هفدهم، به گونه ای ممتاز از یکدیگر تکامل یافتند. در این زمان با نیوتن[8] و لایپ نیتس و کشف حساب انتگرال و دیفرانسیل بوسیله آنها مواجه می شویم که در نهایت ریاضیات و منطق را با هم گره می زنند.
توسعه ریاضیات در این زمان و بویژه «حسابی شدن آنالیز»[9] موجب گردید که مفاهیم مختلفی از ریاضیات را بتوان به مفاهیم ساده تری تجزیه نمود و آنها را به مدد مفاهیم ساده تر و بسیار عمومی تر تعریف کرد. همین امر، سبب التزام برخی به این باور گردید که قضایای ریاضی به عنوان قضایای منطقی باید اثبات شوند و مفاهیم ریاضی باید بر پایه مفاهیم منطقی تعریف گردند.
لایپ نیتس
مبدع و مخترع منطق ریاضی و نحله منطق گرایی لایپ نیتس بود. وی حقایق ریاضی و منطقی را مبتنی بر اصل عدم تناقض ~p (x)Λ ~ p(x)) ("x می دانست. و نظام ریاضی و منطقی را مبتنی بر اصل عدم تناقض فلسفی می دانست و براین باور بود که کلیه قضایای ریاضی و از جمله علوم متعارفه آن را می توان به مدد تعریفات و اصل عدم تناقض ثابت کرد. در واقع، ذهن در تهیه و تشکیل علم ریاضیات، به نحو تحلیل عمل می کند و فقط به تعاریف و اصل عدم تناقض احتیاج دارد و پس از آن تحلیل به عمل می آورد.[10]
از دیگر متفکران عرصه منطق ریاضی که به نحوی در مسیر تکاملی آن نقش مؤثری داشته اند؛ می توان به جورج بول [11] (م1864-1815) اشاره کرد. وی کوشیده بود تا منطق را جبری کند و حساب مجموعه ها را تدوین نماید. وی منطق را دست نشانده ریاضیات می دانست. ویلیام استنلی جونز [12] (م1882-1835) معتقد بود که منطق علم بنیادین است. جان ون [13] (م1923-1834) درعین حال که می کوشید تا اختلافهای نظام «بول» را برطرف و بر بی نظمی معاصر در عرصه نشانه پردازی نمادین غلبه کند، به منطق ریاضیات به چشم شاخه های جداگانه زبان نمادین نگاه می کرد و برآن بود که هیچکدام دست نشانده دیگری نیست. در آمریکا چ.س.پیرس، جبر منطقی بول را تعدیل و کامل تر کرد و نشان داد که چگونه می تواند پذیرای روایت تجدیدنظر یافته منطقِ نِسَب که به همت اوگوستوس دمورگان [14] (م1817-1806) تدوین یافته بود، باشد. در آلمان فریدریش ویلهلم شرودر [15] (م1920-1841) تنسیق کلاسیکی به جبر منطقی بول که به دست پیرس تعدیل یافته بود، داد.[16]
فرگه
«دد کیند»[17] و «فرگه» [18] نیز در تحلیل حقایق ریاضی به گزاره های منطقی بدیهی، تلاش زیادی کردند. فرگه کوشید که در آثارش با عنوان «مبانی حساب »[19] و «قوانین بنیادی علم حساب»[20] ریاضیات را از جبر جداکند.
فرگه سعی داشت نشان دهد که فرضهای اولیه ای که ریاضیات بر آنها استوار است همه از مقدماتی ترین اصول منطق قابل استنتاجند. براین اساس، هر قضیه ریاضی از مقدمات صرفاً منطقی به طریق قیاس قابل استنتاج است. شیوه کار وی دربردارنده دو اصل بود:
الف: تعریف مفاهیم حساب، صرفاً در چارچوب منطق
ب: نشان دادن اینکه حساب از مقدمات صرفاً منطقی قابل استنتاج است.[21]
علاوه بر این وی موفق شد نقیصه ای را که منطق ارسطویی تا قرن نوزدهم با آن روبرو بود، برطرف سازد و آن کلیت تام نداشتن منطق ارسطویی بود. فرگه این نقیصه را مرتفع گرداند و به این وسیله موفق به بیان مقدماتی شدکه بیشتر علم حساب از آنها قابل استنتاج بود.[22]
تا پیش از فرگه، تصور می شد که قوانین منطق، قوانین فکر و اندیشه آدمی است به این معنا که با فرایندهای ذهن آدمی سروکاردارد.[23] فرگه تأکید داشت که منطق یکسره عینی است و به هیچ وجه با فرایندهای روانی مرتبط نیست. مجموعه هایی که اعداد را به آنها احاله می کنیم یا برمی گردانیم ذواتی به کلی عینی هستند و بدین جهت منطق، کاملاً مستقل از روانشناسی است و امکان ندارد که صحت و اعتبار برهان (صدق اینکه چه چیز از چه چیز لازم می اید یا نمی اید) وابسته به امور امکانی در روان آدمی باشد. گزاره های منطق، حقایقی عینی هستند که ذهن قادر به دریافت آنهاست، اما صحت و اعتبارشان به هیچ وجه به ویژگی های تفکر بستگی ندارد.
پئانو[24]، نیز در همان جهت فرگه، منتها با دستگاهی با کارآمدی کمتر از دستگاه او کار می کرد. وی قضایای ریاضی را با علائم منطقی تبیین نمود. او به همراه همفکرانش در کتاب فرمول های ریاضی[25] (1908-1895) نشان داد که حساب و جبر می توانند از اندیشه های منطقی خاصی نظیر اندیشه های مربوط به مجموعه و عضویت یک مجموعه، سه مفهوم ابتدائی ریاضی و شش گزاره ابتدایی اشتقاق یابند. راسل و وایتهد، از طریق وی به اهمیت کارهای فرگه پی بردند. ایشان از نماد نگاری منطقی یا نشانه پردازی پئانو در تدوین کتاب «مبانی ریاضیات» که کار پئانو و فرگه را تکامل بخشید، استفاده کردند.
راسل [26] و وایتهد[27]
منطق گرایی و اصول منطق ریاضی بطور عمده بر پایه نظرات راسل می باشد وی بر این عقیده است که قضایای ریاضی، قابل تحویل به منطق است و قضایای ریاضی مبتنی بر مفاهیم منطقی است، به عبارت دیگر، ریاضیات قابل تبدیل به منطق است به این معنی که ریاضیات خالص را می توان اصولاً از پاره ای مفاهیم منطقی بدوی و قضایای غیر قابل اثبات، استنتاج نمود، وی با ارائة اصل تحویل یا انحلال، تمامی ریاضیات را از یک مجموعه مبانی، که می بایست منطقی خوانده شوند، استنتاج نمود[28]، بنابراین مطابق عقیده او، باید ریاضیات را از دل منطق بیرون آورد.
کتاب سه جلدی «پرینکیپیا ماتیما تیکا»[29] مبانی ریاضیات که محصول کار مشترک راسل[30] و وایتهد در طول ده سال می باشد و در سالهای 1913-1910 منتشر گردید. آنها کوشیده اند تا نشان دهند که ریاضیات محض قابل تبدیل به منطق است، به این معنی که می توان ثابت کرد که ریاضیات از مقدمات منطقی محض بر می آید و فقط مفاهیمی را به کار می برد که قابل تعریف به زبان منطق اند. البته در عمل ما به سادگی نمی توانیم هر فرمول پیچیده ریاضی را بر داریم و بدون جدّ و جهد فراوان به زبان اصطلاحات محض منطقی بیان کنیم؛ ولی اصولاً کل ریاضیات محض، قابل اشتقاق از مقدمات منطقی است، به بیان راسل، ریاضیات بلوغ منطق است. راسل بر این عقیده بود که رد قاطعی از نظریه های کانتی به دست داده است و حقیقت تز خویش را در کتاب مبانی ریاضیات مبرهن ساخته است.
آنچه توجه به آن ضروری است، این است که بر خلاف خواست راسل، فرگه و وایتهد، نه تنها ریاضیات تابع منطق نشد؛ بلکه منطق بیشتر تابع ریاضیات شده است. و هر چه منطق ریاضی، رفته رفته ریاضی تر شده، ارتباطش با فلسفه کاسته شده است. علاوه بر این باید اعتراف کرد که تز تحویل ریاضیات به منطق به هیچ وجه مقبولیت عام در بین ریاضیدانان نیافته است؛ گر چه هیچکس در این امر تردیدی ندارد که تلاش راسل و همفکرانش در زمینه منطقی کردن ریاضیات و تکامل بخشیدن به منطق ریاضی، کاری عظیم بوده و باعث توسعه منطق ریاضی گردیده است؛ اما این سیستم در عرضه داشتن نظامی کامل و تمام، توفیق نیافته است و اشکالات فراوان متوجه این نظام می باشد.