آیا واقعاً ممکن است جولیوس سزار، امپراتور روم، عدد باشد؟ یعنی آیا می شود که سزار محمول خواصی باشد که اصالتاً از آن اعداد است (مثلاً زوج بودن، فرد بودن، اول بودن و غیره)؟ آیا ممکن است شیئی انضمامی مثل سزار یا هر شخص دیگری عدد باشد؟ آیا ممکن است سزار مکانی را در دنباله اعداد طبیعی یا حقیقی اشغال کند؟ آیا اصلاً این پرسش ها معنایی دارند؟ یعنی آیا ارزش صدقی (صدق یا کذب) دارند؟ یا بالکل بی معنا هستند؟ هر نظریه ای در فلسفه ریاضی که نتواند به این پرسش ها پاسخ دهد با «مشکل جولیوس سزار» روبه رو است.
ریشه این سوال های نسبتاً عجیب و غریب برمی گردد به گوتلوب فرگه. فرگه در شاهکارش، بنیادهای حساب، سعی می کند که حساب را به منطق تحویل دهد، و کار خود را با واقعیت بسیار ملموسی در عمل شمارش شروع می کند؛
اصل هیوم (HP) عدد مفهوم F (یعنی تعداد شیءهایی که ذیل مفهوم F در می آیند) مساوی است با عدد مفهوم G اگر و تنها اگر تناظری یک به یک بین شیءهای دو مفهوم F و G برقرار باشد.
HP در واقع معیاری برای اینهمانی با تفاوت اعداد به دست می دهد، ولی به هیچ وجه نشان نمی دهد که اعداد خودشان چه اشیایی هستند. به عبارتی، HP چیزی در مورد تعیین ارزش صدق جمله ای به شکل «عدد مفهوم F = q» (که q می تواند هر ثابتی مثل «جولیوس سزار» باشد) به دست نمی دهد. به نظر فرگه، جملاتی مثل HP نمی توانند اینهمانی اصیل و دقیق اعداد را نشان دهند. یعنی اگر قرار است اینهمانی دقیق را به دست دهیم، هم باید ارزش صدق «عدد F = عدد G» را به دست دهیم و هم ارزش صدق «عدد F = q». و HP فقط ارزش صدق عبارات اول را تعیین می کند. به این دلیل بود که فرگه HP را رها کرد و اصل دیگری را به جای آن نشاند و به پارادوکس راسل اصابت کرد!
در این چند سطر، خیلی تند و خلاصه، صرفاً به بعضی از مشکلات نهفته در دل این مساله اشاره می کنیم؛
ما به کمک عقل سلیم (Common Sense) می دانیم که سزار عدد نیست و حتی ممکن نیست عدد باشد، ولی این قطعاً چیزی نیست که HP به ما می گوید. اگر بناست ضوابط کافی برای اینهمانی اعداد را به دست دهیم، باید فاعل شناسایی را که اعداد را مورد شناسایی قرار می دهد، قادر سازد که اعداد را از همه انواع دیگر اشیا متمایز کند (discriminate). اما توسل به معیار توانایی تمایز گذاشتن در گرو حل مسائل دیگری دارد؛ کودک می تواند از طریق تناظر یک به یک به اعداد ارجاع دهد بی آنکه توانایی کاملی برای تمایز گذاشتن میان اعداد و اشخاص (آنطور که فرگه داشت) داشته باشد. پس چه بسا HP توانایی اولیه برای ارجاع و معرفی اعداد را به دست دهد. ولی این مساله به هیچ وجه قطعی نیست. چون به هر حال، هر توانایی اولیه ای برای ارجاع به اعداد و استفاده از آنها در اندیشه (thought) و کلام (talk) مستلزم یک درک بنیادین از نوع یا جنس شیءهای مورد ارجاع یا اشاره دارد. پس شاید به این راحتی نتوان ادعا کرد کسی که صرفاًً HP را آموخته می تواند در مورد اعداد بیندیشد یا راجع به آنها صحبت کند؛ چون HP نوع اشیای مورد بحث را مشخص نمی کند (نمی گوید سزار هستند یا مجموعه یا...)
از طرفی، فرض کنیم به کودکی صرفاً HP آموخته شده، و کودک، مسلح به تنها همین سلاح، قضایای بنیادین حساب را می آموزد و ثابت می کند و در امتحانات نمرات خوبی هم می گیرد (چنین چیزی کاملاً ممکن است؛ نگاه کنید به (Wright ۱۹۸۳) و (Boolos ۱۹۸۷). اگر او ندانست که سزار عدد است یا نه (که نمی داند)، باید نتیجه بگیریم که نمرات او حقه بازی اند؟ یا به صدق قضایای حساب معرفت ندارد؟ بنابراین، آن کودک توانایی های کافی ای برای قضاوت در مورد نسبت های عددی دارد ولی انگار فاقد نوعی معرفت متافیزیکی است. پس اجازه دهید که کمی راجع به بعد متافیزیکی مساله جولیوس سزار صحبت کنیم؛ در اینجا باید بگوییم که چرا محال است که انواع کاملاً متفاوتی از شیء ها (اعداد و اشخاص) همپوشانی کنند.
می توانیم دلایلی بیاوریم؛ اعداد انتزاعی اند و اشخاص انضمامی. یک راه اثبات این خاصیت برای اعداد این است که بگوییم اعداد بی نهایت اند و اشخاص متناهی. ولی تنها نتیجه ای که از این حرف می گیریم این است که همه اعداد نمی توانند انضمامی باشند، ولی چه بسا بعضی از اعداد انضمامی باشند. استدلال دوم برای اثبات «+» این است که بگوییم صدق های ریاضی صدق هایی ضروری اند، و صدق های ضروری مستلزم موجودات ضروری اند. از آنجا که اشخاص ً انضمامی، از جمله سزار، ممکن هستند، پس شیءهایی که صدق های ریاضیات بر آنها دلالت می کنند ممکن نیست انضمامی باشند. اگر قرار است این استدلال را به کرسی بنشانیم، باید ابتدا این ادعا را اثبات کنیم که اشیای ریاضی، به قول کریپکی، دلالتگر ثابت (rigid designator) اند. پس سوال اصلی «+» این است که چرا شیءهای نوع K۱ نمی توانند خواص شیءهای نوع K۲ را داشته باشند؟ و این ما را بلافاصله به مساله سنتی متافیزیک، یعنی جوهر (substance)، می کشاند. و اصلاً معلوم نیست که دست و پنجه نرم کردن با این مساله غم انگیزتر از تلاش برای پاسخ به پرسش های اول مقاله نباشد.