بیان یک عدد بصورت حاصل جمع های مربعات و یا توان های دیگر از پیشینه تاریخی طولانی ای برخوردار است.شیوه های متفاوت نشان دادن یک عدد صحیح به صورت حاصل جمع اجزای کوچکتر مدت های مدیدی هم از ریاضیدانان حرفه ای و هم از ریاضیدانان آماتور دلربائی کرده . بعنوان نمونه دنباله مربعات اعداد صحیح را در نظر بگیرید :۱ , ۴ , ۹ , ۱۶ , ۲۵ , ۳۶ ,
به قول مرحوم مصاحب و قس علیهذا . همین طور که دنباله پیشرفت می کند شکاف مابین جملات دنباله بزرگتر میشود . این نکته بدیهی است که بیشتر اعداد مکعب اعداد صحیحی نیستند .
خیلی از اعداد صحیح قابل بیان بصورت مجموع دو مربع کامل هستند مانند : ۸=۴+۴ ۱۰= ۹+۱ ۱۳= ۹+۴ و به همین ترتیب اعداد دیگر .سایر اعداد را نمی توان بصورت حاصل جمع فقط دو عدد صحیح بیان کرد بعنوان مثال برای نشان دادن عدد ۶ بصورت حاصل جمع مربعات تنها مربع های کاملی که در اختیار داریم ۴ و۱ هستند و با این دو عدد هم هدف ما را تامین نمی کنند .در عوض عدد ۶ یک حاصل جمع ۳ مربعی خواهد داشت : ۶=۴+۱+۱
در واقع بیشتر اعداد صحیح مثبت قابل بیان بصورت ۳ مربع کاملند و بعنوان مثال : ۱۱=۹+۱+۱ ۱۲= ۴+۴+۴
از طرف دیگر ۷ مثالی است که قابل بیان بصورت ۳ مربع کامل هم نیست و به ۴ مربع کامل نیاز دارد :۷=۴+۱+۱+۱
حال این سوال برای ما پیش می آید که آیا برای نشان دادن سایر اعداد ، به بیش از ۴ مربع کامل نیاز پیدا می کنیم؟ در سال ۱۷۷۰ ، لاگرانژ Joseph Louis Lagrange (۱۸۱۳ ۱۷۳۶) ریاضیدان فرانسوی مسئله ای را ثابت کرد که باعث شک و تردید ریاضیدانان پیش از او را برانگیخته بود و یا آنها را با خود سرگرم کرده بود: هر عدد صحیحی یا خودش مربع کامل است و یا به صورت حاصل جمع ۲ ، ۳ ، یا ۴ مربع کامل قابل بیان است.
مشابه این سال ها که ریاضیدانان به این مسئله فکر می کردند و بعد از آن ، با حدس ادوارد وارینگ (۱۷۹۸ ۱۷۳۶ Edward Waring ) ، یک فیزیکدان تجربی و همچنین پروفسور ریاضی از دانشگاه کمبریج مجددا خلق شد او حکمی مشابه را برای مکعبات ، توان های ۴ و مانند آن قابل اثبات دانست . او این گزاره را بدون اثبات بیان کرده بود که برای بیان هر عدد صحیح بصورت حاصل جمع حد اکثر به ۹ مکعب کامل یا ۱۹ توان ۴ نیاز است .
وارینگ بعنوان ریاضیدانی درخشان شهرت داشت که این شهرت بیشتر به خاطر نظریات بنیادی وی در ریاضیات بود. علاقه او کاربردهای تجربی نبود بلکه روشن ساختن طبیعت ریاضی آنها مورد علاقه وی بود.متاسفانه عدم وجود ترکیب بندی مناسب و نفوذ ناپذیری نوشته های وارینگ مانع از رسیدن به شناخت بسیاری از اثر های پیشگامانه وی شد . نام او ، که به طور وسیعی شناخته شده نیست، همراه مسئله هایی در باب مجموع توانهای اعداد صحیح است. وارینگ احتمالا باجمع آوری داده ها و مشاهده الگو ها به این حدس راجع به مکعبات و توانهای ۴ رسیده .
مکعبات اعداد صحیح شامل دنباله : ۱ , ۸ , ۲۷ , ۶۴ , ۱۲۵ ,
است.عدد۷ بصورت مجموع ۷ مکعب کامل (۱+۱+۱+۱+۱+۱+۱=۷)نوشته می شود ، ۱۵ به ۸ مکعب کامل (۱+۱+۱+۱+۱+۱+۱+۸=۱۵) نیاز دارد ، ۲۳ به ۹ مکعب(۱+۱+۱+۱+۱+۱+۱+۸+۸=۲۳)، ۳۱به فقط ۵ مکعب (۱+۱+۱+۱+۲۷=۳۱)نیاز دارد.بر پایه مشاهدات ، این معقولانه به نظر می رسد که فرض کنیم هیچ عدد صحیحی مجموع بیش از ۹ مربع کامل نیست. توانهای ۴ (۱و۱۶و۸۱و۲۵۶
..)هم همین رفتار را نشان می دهند:مثلا ۱۵بصورت حاصل جمع ۱۵ توان ۴ قابل بیان است ،۳۱ به ۱۶ توان ۴ نیاز دارد ،۴۷به ۱۷ ،۶۳ به ۱۸ و۷۹ به ۱۹ توان ۴نیاز دارد .
حدس وارینگ ریاضیدان ها را به حجم زیادی از فعالیتهای ریاضیاتی تحریک کرد .در ابتدای قرن ۱۹هم یک ریاضیدان از برلین بنام کارل گوستاو ژاکوب۱۸۵۱ ۱۸۰۴ (Karl Gustav Jacob Jacobi ) این مسئله را به کامپیوتر واگذار کرد ، دستیاری که لیستی ۱۲۰۰۰ تایی از اعداد صحیحی ابتدایی را مورد پردازش قرار داد و هر کدام را با کمترین شمار از اعداد مکعب کامل بیان کرد . در این لیست به غیر از ۲۳تنها عددی که به ۹ مکعب کامل برای نوشته شدن به صورت حاصل جمع نیاز دار د ۲۳۹ است . ۱۵ عدد دست کم به ۸ مربع کامل احتیاج دارند ۱۵,۲۲,۵۰,۱۱۴,۱۶۷,۱۷۵,۱۸۶,۲۱۲,۲۱۳,۲۳۸,۳۰۳,۳۶۴,۴۲۰,۴۲۸,۴۵۴. لیست اعدادی که به ۷ مکعب کامل نیاز دارند خیلی بلند تر است ، اما شامل هیچ عددی بزرگتر از ۸,۰۴۲ نمی شود .
اگرچه چنین مجموعه ای از اطلاعات یک حدس را اثبات نمی کند و تنها در پیشنهاد اینکه چه چیز میتواند درست باشد به کار میرود.حقیقتاً ، ریاضیدانان زمانی طولانی را برای ثابت کردن حدس ابتدایی وارینگ گذاشتند ، و مجبور شدند برای انجام این کار به روش های بسیار پیچیده ای روی بیاورند.
در سال ۱۹۰۹ یک ریاضیدان بزرگ آلمانی به نام دیوید هیلبرت۱۹۴۳ ۱۸۶۲(David Hilbert )با اثبات تعمیمی از این حدس گامی مهم در راستای اثبات آن برداشت او ثابت کرد که برای مکعبات ، توانهای ۴ ، و همه توانهای بالاتر حداقل تعداد جملاتی وجود دارد که برای بیان هر عدد صحیح کافی است . گرچه این اثبات هیچ گونه راهنمایی برای تعیین حداقل شمار جملات از هر توان که برای بیان یک عدد لازم است ارائه نمی داد.
در سال ۱۹۱۲ آبری جی کمپنر( Aubrey J. Kempner ) تلاش های سال ۱۹۰۹ ویفریچ(A. Wieferich ) برای اثبات اینکه هر عدد صحیح باحاصل جمع ۹ مکعب کامل قابل بیان است را یک بار و برای همیشه کامل کرد. در سال ۱۹۴۰ هم اس.اس فیلای (S.S. Pillai ) نشان داد که هر عدد صحیح قابل بیان با مجموع ۷۳ جمله با توان ۶ است.
ادعای اینکه۳۷ جمله با توان ۵ کافی است را چن جینگرون (Chen Jingrun ) در سال ۱۹۶۴ثابت کرد.طولی نکشید تا در سال ۱۹۸۶ ، Ramachandran Balasubramanian ، Franois Dress ، Jean Marc Deshouillers ثابت کردند که به بیش از ۱۹ توان ۴ برای بیان هر عدد بصورت حاصل جمع نیازی نیست.
ریاضیدانان با این سوال هم که مرتبط با سوال های قبلی است مواجه بودند که چه تعداد جمله برای بیان هر عدد صحیح بقدر کافی بزرگ(مثلا از یک مقدار مشخص بزرگتر) به صورت مجموع جمله های با توان kام ، لازم است. بطور مثال باوجود اینکه هر عدد صحیح قابل بیان با حداقل ۹ مکعب است، هر عدد صحیح بزرگتر از یک مقدار مشخص (شاید ۸۰۴۲) می توان با حاصل جمع حداکثر ۷ مکعب کامل نشان داد.با مشاهده رفتار اعداد بزرگتر،ریاضیدانان شک کردند که : شاید هر عدد صحیح بقدر کافی بزرگ را بتوان با حاصل جمعی از مکعبات که تعداد جملات آن از ۴ بیشتر نباشد نشان داد.بزرگترین عدد شناخته شده که قابل بیان با ۴ مکعب کامل نیست ۷,۳۷۳,۱۷۰,۲۷۹,۸۵۰ است.
ریاضیدانان به کار بر روی جنبه های مختلف مسئله وارینگ و گوناگونی های آن ادامه داده اند . آنها الگوهای دیگری که در ارتباط با توانها باشد را نیز جستجو کرده اند، .بر روی حاصل جمع های مخلوطی از توان ها (بطور مثال بیان یک عدد صحیح با توانهای ۲ و ۳)و استفاده از توان های اعداد منفی و مثبت که باهم اجازه استفاده دارند نیز کار کرده اند.
با استفاده از کامپیوتر وضعیتی مشابه این موارد توسط Kaplansky و William C. Jagy برای یک مربع و دو مکعب در مورد اعدادی که در بازه ۴,۰۰۰,۰۰۰ تا ۲,۰۰۰,۰۰۰ قرار داشتند بررسی شد .محاسبات اضافی این حدس را تایید کرد که برای این قاعده که هر عدد قابل بیان با یک مربع و دو مکعب است شمار متناهی استثناء وجود دارد. Kaplansky, Jagy و دیگران بازه وسیعی از ترکیبات محتمل را مورد کاوش قرار داند ولی باز هم زمینه حاصلخیزی از تحقیق و تفکر برای مشخصا آماتور ها باقی مانده . این تحقیقات تجربیات موروثی ریاضیات را در کمک برای یافتن الگو ها ، حدس های دیگر و قضایای جدید ادامه می دهد . آن چیزی که در مورد حساب اعداد صحیح برجسته است فاصله بین سادگی آشکار مواد خام و پیچیدگی بی اندازه و ظرافت اثبات ها است.
علم حساب پیشرفته تر ما را با انباری پایان ناپذیر از حقایقی دلچسب آشنا می کند از حقایقی که نتنها مجزا نیستند بلکه در فاصله ای نزدیکی نسبت به دیگری قرار دارند و در این بین با هر پیشرفت متوالی علم ، ما پیوسته نقاط تازه و کاملا غیر منتظره اتصال را پیدا میکنیم این جمله را گوس بزرگ۱۸۵۵- ۱۷۷۷ (Carl Friedrich Gauss ) در سال ۱۸۴۹ بیان میکند. او ادامه می دهد قسمت اعظمی از قضایای حساب از یک جذابیت اضافی از حالت و ویژگی ای نتیجه میشود که ما به آسانی گزاره های مهم را مقایسه می کنیم و نتیجه میگیرم که نشان سادگی ظاهر آنهاست اما اثبات چیزی که در ژرفای آن قرار دارد کشف نخواهد شد مگر پس از انجام مقدار زیادی تلاش بی ثمر، تنها زمانی رسیدن به آن میسر میشود که مقداری مراحل ملالت بار و ساختگی پیموده شود، بازه زمانی که روشهای ساده تر برای اثبات مدتهای زیادی از دید ما پنهان میمانند....