تاریخ دانش، خود دانش است. (گوته(1) (1749-1832م) شاعر پر آوازه آلمانی)
در هر دانشی، بیش از هر جای دیگری از فعالیت های انسانی، باید به بررسی گذشته پرداخت. این بررسی، برای درک زمان و امکان و پیروزی بیشتر بر طبیعت در آینده لازم است. (جان د.برنال(2)، دانشمند انگلیسی)
ریاضیات، مجموعه ای است تجزیه ناپذیر. (دیوید هیلبرت(3) (1862-1943م) ریاضیدان آلمانی)
1. ریاضیات را بدون تاریخ آن نمی توان به درستی یاد گرفت.
همه ما می دانیم، وقتی سر کلاس، گوشه ای از تاریخ ریاضیات، به شرطی که مربوط به درس باشد طرح شود، چه شور و شوقی دانش آموزان را فرا می گیرد. در واقع، هیچ پژوهشگر دانشی نمی تواند خود را بی نیاز از «تاریخ دانش» بداند.
بررسی حرکت ناهموار و گاه ناپیوسته دانش در طول تاریخ و تلاش برای شناختن بررسی های انجام شده بین فرهنگ و تمدن بشر و مناسبت های اقتصادی و حاکم بر آن ها از یک سو، و پیشرفت تکاملی و کم و بیش بی وقفه دانش از سوی دیگر، می تواند قانونمندی های حاکم بر دانش را، از پرده ابهام به در آورد و در نتیجه، موقعیت کنونی دانش، راه پیشرفت بعدی و گرایش های تکاملی آن را روشن کند. کشف قانونمندی هایی که موجب پیشرفت دانش است، از جهت دیگری هم برای ما سودمند است؛ به یاری آن هاست که می توانیم دلایل و انگیزه های اصلی پیشرفت ها و عقب نشینی های یک ملت یا یک سرزمین را، در دوره های معینی از تاریخ بشناسیم، راه سازگار کردن جامعه خود را با این قانون ها پیدا کنیم و سهم خود را در تأسیس بنای عظیم و پر شکوه تمدن انسانی و انسانی کردن این تمدن ادا نماییم. انسان قانون ها را نمی سازد. طبیعت و زندگی اجتماعی انسان پر از قانون است. این قانون ها، هم در طبیعت و هم در جامعه وجود دارند و بنابر معیارهای خود عمل می کنند. انسان تنها می تواند این قانون ها را بشناسد و با شناختن آن ها، حرکت و رفتار خود را با آن ها سازگار کند. هر حرکت و رفتاری که با این قانون ها ناسازگار باشد، محکوم به شکست است و نمی تواند در پیشرفت آدمی و نزدیک تر کردن او به آرمان های عادلانه مؤثر باشد.
شناخت این قانون ها، به ویژه قانون مندی های حاکم بر تکامل دانش، و در نتیجه آشنایی لازم با تاریخ دانش و توانایی تحلیل فراز و نشیب های آن، برای هر مربی و حتی هر مدیر صنعتی و برنامه ریز نیز لازم است؛ چرا که هیچ برنامه ای برای آینده، بدون بازنگری علمی گذشته، واقع بینانه و مؤثر نیست. ولی به قول ابن خلدون:« تاریخ روشی دارد که هر کس به آن دست نیابد»(4) و در جایی دیگر:« مورخی که با تاریخ آشنا باشد، به دانستن قانون های سیاست، طبیعت وجودها، گوناگونی ملت ها و سرزمین ها در درازای زمان، از نظر رفتار، اخلاق، عادت، مذهب، رسم و دیگر چیزها نیازمند است و هم لازم است در این مسأله ها، آنچه را که امروز وجود دارد، با تسلط کامل بداند و آن را با آنچه نهان است بنسجد، وجه مناسبت میان آن ها را از لحاظ توافق یا تضاد دریابد و تجزیه و تحلیل کند، به دلیل آن ها پی برد و هم به درک شالوده ملت ها و دولت ها و سرچشمه پدید آمدن آن ها و شناخت سبب پیشامدها و دلیل وجود هر یک همت بگمارد و خبرها و عادت ها و رسم زمامداران را به کمال فرا گیرد.» (5)
افلاطون معتقد بود: «ریاضیات، مقدم و والاتر از تجزیه است»، ولی ابوریحان بیرونی با او اختلاف نظر دارد و در کتاب جماهر خود می گوید: «با این که بسیاری کسان این موضوع را پذیرفته اند، درستی آن را با آزمایش نمی توان تأیید کرد» (6) هیوم (7)(1711 -1776م) نتیجه ای اساسی می گیرد:« آیا کتابی که می خوانید، با عدد سرو کار دارد؟ آیا با تجزیه همراه است؟ اگر هیچ کدام از این دو نیست، باید دور ریخته شود.» موریس کلاین (8)، ریاضی دان آلمانی، حرف آخر را می زند:« ریاضیات، عالی ترین دستاورد اندیشه و اصیل ترین زاده ذهن آدمی است. موسیقی به روح آرامش می دهد، نقاشی چشم را می نوازد، شعر موجب برانگیختن عاطفه می شود، فلسفه ذهن را قانع می کند و مهندسی زندگی را بهبود می بخشد، ولی ریاضیات دارای مجموعه همه این ارزش هاست.»
2. تاریخ و به ویژه تاریخ ریاضیات چه سودی دارد؟
نخستین سود تاریخ ریاضیات در آموزش ریاضی است. تاریخ ریاضیات سودی دو جانبه دارد؛ هم به معلم یاری می رساند تا بتواند نظر دانش آموزان را به مسئله هایی جلب کند که برای مفهومی ریاضی به وجود آمده است و هم به طور طبیعی، دانش آموزان را با تلاش ها و جست و جوی دانشمندان، به ویژه ریاضیدانان کشور خود و گام هایی که در راه ساختن این بنای سترگ که ریاضیات نام دارد و امروز در اختیار ماست برداشته اند، آشنا می کند. وقتی دانش آموز آگاه شود که برای نمونه، نمادهایی که در حساب یا جبر به کار می بریم، تنها از سده شانزدهم میلادی معمول شده اند و در طول چند صد هزار ساله تاریخ، بشر به این نمادها دسترسی نداشته است و همه چیز را با توضیح یا به احتمال با هندسه روشن می کرده، یا وقتی که بداند «اصل پنجم» اقلیدس در تمام این دو هزار سالی که از زمان کشف آن می گذرد، دغدغه ای برای ریاضیدانان بوده است، تا این که کوشش های آن ها در سده هجدهم به بار نشست، یا آگاه شود که برای به کرسی نشاندن «عدد نویسی دهدهی»، یعنی همین عدد نویسی که ما امروزه از آن استفاده می کنیم، از سده سیزدهم میلادی به مدت چند سده، چه مبارزه هایی در جریان بوده و...، بی تردید بیشتر دل به درس می دهد؛ زیرا خود را پاسدار گذشتگان می بیند.
سود دومی که از بررسی تاریخ ریاضیات عاید خواننده آن می شود، این است که جهانی و انسانی بیندیشیم و قانع شویم که همه ملت ها در طول تاریخ در بر افراشتن پرچمی که به دانش ریاضی اختصاص دارد، سهیم بوده اند؛ ملت ها را به دو گروه متمدن و وحشی تقسیم نکنیم، نسبت به همه ملت ها احساس همدردی کنیم و هیچ ملت یا نژادی را برتر از دیگران ندانیم. در غاری در بهشهر، استخوان هایی یافته شده که قدمت آن به هجده هزار سال قبل می رسد. روی این استخوان ها شیارهایی وجود دارد که نشان می دهد کسی که آن ها را به وجود آورده، حساب چیزی را نگه می داشته است؛ نه آدمخوار بوده است و نه وحشی. برای نمونه، نزدیک به چهار هزار سال پیش، مردم بابل به معنای 2√ پی برده بودند و آن را با تقریب خوبی در نظر می گرفتند. در حالی که بعد از نابودی ملت های سرزمین میان رودان (بین النهرین)، تمام دشواری فیثاغوریان، بعد از کشف قضیه ای که به «قضیه فیثاغورس» معروف شده است، مربوط به نشناختن عددهای گنگ و از جمله 2√بود. همه آن ملت ها و قوم ها، در کار ساختن ریاضیاتی که ما امروز داریم، سهیم بوده اند. زمانی این و زمانی دیگری جلوتر بوده است، ولی هیچ ملت یا قومی از کار این ساختمان بر کنار نبوده است. دانش و از جمله ریاضیات نژاد نمی شناسد و هر جا زمینه آماده باشد، به ثمر می نشیند.
روزا پتر (9)(1905-1977م)، زنی ریاضیدان از سرزمین مجارستان، در پیشگفتار کتاب بازی با بی نهایت (10) خود که در دوران جنگ جهانی دوم نوشته است، می گوید:« ریاضیات در عین حال به طور شگفت انگیزی انسانی است... ریاضیات همیشه و همه جا بلندگوی این شعار است که فعالیت و استعداد آدمی پایان ناپذیر است.»(11))
روژه گورسان، استاد سابق دانشکده علوم پاریس، اعتقاد دارد:« نخستین وظیفه ریاضیات ساختن و تحول دادن چیزی به جامعه است که امروز کمتر کسی خواستار آن است؛ یعنی انسان، انسانی که بیندیشد، انسانی که درست را از نادرست تشخیص دهد، انسانی که شناخت و انتشار حقیقت را بر بسیاری چیزها، از جمله یک تلویزیون برتری دهد، انسانی آزاد نه آدم وارهای آهنی.»
سوم این که تاریخ دانش موجب می شود دانش را از شبه دانش جدا کنیم باورهای بسیاری در ذهن مردم وجود دارد که با حقیقت نمی سازد. تاریخ نشان می دهد این محصول های ذهنی از کجا پدید آمده است و چگونه باید با آن ها مبارزه کرد. تاریخ نشان می دهد که باید در برابر هر اظهارنظر شک کرد و حقیقت جز با تجربه و استدلال به دست نمی آید. به قول هانری پوانکاره (12)(1854-1912م):«اگر پژوهشگر به اندازه کافی وقت داشت، به او می گفتم نگاه کن، ولی با دقت نگاه کن». و ابوریحان بیرونی سفارش می کند:« کار دانش رهانیدن و آزاد کردن انسان است. دانش باید مفهوم های کلی را در برگیرد، بتواند درست را از نادرست جدا کند، وابسته به استقراء، استنباط سطحی و غیر علمی نباشد، تردیدها را برطرف کند و به یقین نزدیک تر شده باشد.» ابوریحان بیرونی که سده ها پیش از فرانسیس بیکن زندگی می کرده است، به تجربه و آزمایش اعتقاد داشت. او درباره حکمی می نویسد:« در این جا گمان دارم درست باشد، ولی نتوانسته ام آن را با آزمایش به دست آرم»(13). همو در تحقیق ماللهند از روزگار خود شکایت می کند:«طبیعت دل ها بر عشق به دانش استوار است و خمیره وجود آدمی را ضد دانش، یعنی نادانی، بیزار است. ولی زمان ما چنین نیست و از آن جا که وارون آن رواج دارد، چگونه ممکن است دانشی در آن پدید آید یا دانشمندی پدیدار شود.»(14) در جای دیگری در همان کتاب می نویسد:« دانش است که طبیعت آدمی را صیقل می دهد و تاریکی را از درون او می زداید.» ابوریحان بیرونی شب و روز کار می کرد. یاقوت حموی در معجم البلدان درباره او می نویسد:« هرگز قلم از دست او دور نمی شد، چشمانش از مطالعه و مغزش از اندیشیدن باز نمی ایستد، جز دو روز در سال: جشن نوروز و جشن مهرگان و یا برای فراهم کردن غذا و وسیله کار.»(15)
سود چهارم تاریخ دانش این است که به ما اعتقاد به خود می دهد. هگل در کتاب فلسفه تاریخ خود می گوید:«با امپراتوری پارس، انسان ها برای نخستین بار گام به مناسبت های تاریخ می گذراند و مردم پارس را باید نخستین خلق تاریخی به حساب آورد.» وقتی بفهمیم در تاریخ چند هزار ساله بشر، تنها چند سده است که انسان توانسته است با رنج، پا به عرصه دانش بگذارد و برای نمونه، ایرانیان پیش از سده هفتم میلادی و یا بعد از آن، وقتی توانستند خود را بازیابند و دوران جنگ ها و قتل عام ها را پشت سر بگذارند، چگونه رشد کردند و دانش آن روز را در دست گرفتند، وقتی که در اروپا سیاهی سده های میانه بر همه جا حاکم بود و برای مثال «قدیس اون» نوشته های هومر و ویرژیل را آواهای کودکانه شاعران بی دین می دانست، دانشمندان ایرانی در همه زمینه های دانش بشری توانستند خود را در قله قرار دهند، اندکی به خود اعتماد می کنیم و با همه کمبودها و نارسایی ها، همت می کنیم و خود را به جلو می بریم.
پنجمین سود تاریخ دانش این است که روش پژوهش از کسانی همچون استانش مشهور به «مغ بزرگ» یا «سئینه» پزشک عالی قدری که در هفت سده پیش از میلاد در هگمتانه بود یا ابونصرفارابی و ابوریحان بیرونی یاد می گیریم. یاد می گیریم در دانش، محافظه کاری معنا ندارد، باید نوآور بود. پژوهشگر و دانشمند در درون خود با دو جنبه متضاد روبه روست: نیروی سنت و تأثیر سنت بر او و در برابر آن مبارزه با سنت. ریاضیات هم همچون دیگر دانش ها، در آغاز با مشاهده سطحی و تجربه های آغازین، به مرحله های بعدی که ناشی از بی پناهی انسان و آگاهی پیدا کردن از قانون های طبیعت بود، دست یافت و سپس به استدلال بدون مراجعه به دنیای خارج و سر آخر به دانش واقعی ریاضی، یعنی ترکیبی از آزمایش و مشاهده و استدلال منطقی رو آورد، اما باز هم بر درستی آنچه به دست آورد با آزمایش و تجربه مهر تأیید گذاشت.
آیا قانون هایی را که در تاریخ تکامل ریاضیات وجود دارند می توان شناخت؟ ریاضیات چگونه پیش رفته است؟ چه انگیزه هایی موجب پیدایش و تکامل مفهوم ها و روش های ریاضیات بوده اند؟ باید پذیرفت که نه تنها درباره تاریخ ریاضیات که به طور کلی درباره تاریخ دانش و یا از آن عام تر، درباره تاریخ اندیشه انسانی هنوز کار زیادی نشده است. درباره بسیاری دیگر از جنبه های زندگی بشری، بررسی های گوناگون علمی شده است و به راحتی می توان از گذشته های این جنبه های زندگی بشر آگاه شد، ولی درباره تاریخ تفکر انسانی کار زیادی نشده است. کتاب های زیادی درباره دانشمندان و یا اندیشمندانی که اندیشه های مختلف داشته اند منتشر شده است، ولی هنوز کتابی جامع که به تحلیل تاریخ تفکر آدمی پرداخته و قانون های پیشرفت آن را به صورت علمی بررسی کرده باشد، پدید نیامده است. دانشگاه ها و مراکز علمی هم به تاریخ دانش و بررسی انگیزه های پیشرفت آن خیلی کم اهمیت می دهند. کمتر دانشگاهی را می توان یافت که رشته ای به نام «تاریخ دانش» داشته باشد. دانش آموزان و دانشجویان رشته های علمی هم، در هیچ مقطعی از تحصیل خود با تاریخ دانشی که موضوع کار و درس آن هاست آشنا نمی شوند. در کتاب های تاریخ عمومی نیز خبری از تاریخ دانش نیست و اگر گاهی اشاره ای در این زمینه وجود دارد، بسیار گذرا و سطحی است. دانش آموزان و دانشجویان نیز با گذشته رشته تخصصی خود آشنا نیستند و از کارهای خبرگان کشورشان، که موضوع درس و پژوهش آن هاست، آگاهی ندارند. این وضع نمی تواند طبیعی باشد و باید خیلی زود درباره آن اندیشید و به یاری صاحب نظران و اندیشمندان، کتاب های لازم را در این زمینه فراهم کرد.
درباره ریاضیات، پرسش اصلی این است: دوره های اصلی تکامل ریاضیات کدام است؟ آیا قانون یا قانون هایی بر آن حکومت می کند؟ و اگر چنین است، این قانون ها کدامند؟
در زمینه مسیر تکاملی ریاضیات سه دیدگاه وجود دارد:
1) ریاضیات در آغاز دانشی یگانه بوده است، در این دوران نه تنها شاخه های گوناگون ریاضیات در هم آمیخته بود، بلکه از عنصرهای نخستین دانش های دیگر نیز جدا نبوده است. سپس در دوره های معینی از شکل گیری آگاهی ها و پیچیده تر شدن زندگی اقتصادی و اجتماعی، در آغاز، برخی از دانش ها از ریاضیات جدا شدند و بعد به تدریج ریاضیات هم به شاخه های جداگانه تقسیم شد. ولی از آن جا که ریاضیات، در ذات خود دانش یگانه ای است و وظیفه کشف قانون های کمیتی حاکم بر طبیعت را به عهده دارد، به ویژه در زمان ما، همراه با تخصص های بسیار زیادی که در این زمینه پدید آمده است، گرایش جدی به سمت یگانه کردن ریاضیات نیز پدید آمده است. به این ترتیب ریاضیات از دانشی واحد به سمت دانش های جداگانه و سپس دوباره از دانشی پراکنده به سمت یگانگی حرکت کرده است.
2) اگر به گونه ای دیگر، به مسیر تاریخ ریاضیات بنگریم، این مرحله ها را در جریان پیشرفت آن می بینیم: مرحله پیش آگاهی که دوران شکل گیری مفهوم های نخستین ریاضیات است و از ژرفای تاریخ تا آغاز دوره شکوفایی ریاضیات یونانی ادامه دارد؛ مرحله ریاضیات مقدماتی که به صورتی جدی از سده های ششم و هفتم پیش از میلاد و در یونان آغاز می شود و تا سده شانزدهم میلادی ادامه دارد؛ مرحله ریاضیات با کمیت های متغیر که از زمان نیوتن و لایب نیتس و با کشف قانون های حاکم بر «بی نهایت کوچک ها» آغاز می شود و در سده نوزدهم پایان می یابد؛ و سرانجام مرحله ریاضیات معاصر که تا زمان ما ادامه دارد. این تقسیم بندی مرحله های تکاملی ریاضیات، تنها بر ریاضیات نظری تکیه دارد و به نیمه دوم آن، یعنی ریاضیات کاربردی کمتر توجه می کند.
تا پیش از سال های دهه 1950، کتاب های مربوط به تاریخ ریاضیات، بیشتر شامل شرح حال ریاضیدانان بود و به دوره های پیشرفت آن توجه نمی شد. از این سال ها با انتشار دیدگاه های نیکلا کولموگوروف درباره دوره های مختلف تکامل ریاضیات نظری، به همان صورتی که در این جا آمد، به تقریب همه مورخان ریاضی از آن پیروی کردند. البته هستند ریاضیدانانی که در اساس، ریاضیات کاربردی را جزو ریاضیات به حساب نمی آورند. از آن جمله ریاضیدانان فرانسوی هستند که با نام «نیکلا بورباکی» کتاب های ارزنده ای درباره ریاضیات نظری دارند. آن ها ریاضیات را شهری آباد می دانند که ریاضیات کاربردی در حومه آن واقع است. آن ها گاهی شگفت زده می شوند که برخی موضوع های ریاضیات نظری، کاربرد خود را در عمل پیدا می کند؛ زیرا ریاضیات نظری زاده ذهن و اندیشه آدمی است و ربطی به عمل و کاربرد ندارد.
مسیر ریاضیات نظری، از دید کولموگوروف، بسیاری از دشواری های مربوط به تکامل ریاضیات را حل کرد، ولی از آن جا که ریاضیات کاربردی را کنار می گذارد، نتوانسته است همه جنبه های ریاضیات را شرح دهد.
3) ریاضیات، در مسیر تکاملی خود، به تناوب از دوره های کاربردی و نظری گذشته است. دوره نخست پیشرفت ریاضیات، که با تلاش همه قوم های باستانی و به طور عمده در سرزمین های مصر و «میان دورود» و چین و عیلام بوده است، مسیر کاربردی را می پیمود. در ضمن، در آن زمان برخی عنصرهای نخستین ریاضیات نظری (مفهوم ها و برخی قاعده ها و قضیه ها) پدید آمد. جهت گیری اصلی ریاضیات در این دوره کاربردی بود، ولی به تدریج عنصرهای نظری در آن وارد شد.
دوره دوم تکامل ریاضیات، که به طور عمده در سرزمین یونان و سپس اسکندریه پا گرفت، دوره ای با سمتگیری نظری به شمار می آید. دوره سوم تکامل ریاضیات، که گرانیگاه آن در سرزمین ایران است، دوره ای با سمتگیری کاربردی بود. ریاضیدانان این دوره، با استفاده از همه دستاوردهای گذشته کوشیدند تمام رخنه های موجود در ریاضیات نظری دوره پیش را پر کنند و نظریه ها و شاخه های تازه ای در ریاضیات پدید آورند (به ویژه در زمینه ریاضیات نظری محاسبه ای)، ولی تمامی تلاش آن ها برای کاربرد ریاضیات در برطرف کردن دشواری های زندگی، که در مقایسه با قبل پیچیده تر شده بود، به کار گرفته می شد. این دوره به طور عمده در سال های بین سده های نهم تا پانزدهم میلادی جریان داشت.
دوره سوم تکامل ریاضیات، که به طور عمده در اروپای غربی و جنوبی از سده شانزدهم میلادی آغاز می شود، دوباره چرخشی به سوی ریاضیات نظری به شمار می آید. این دوره کم و بیش تا زمان ما ادامه دارد، ولی نشانه هایی جدی دیده می شود که از چندی پیش، گرایشی کاربردی نیز پیدا می کند.
این سه دیدگاه، جنبه های متفاوتی از مسیر پیشرفت ریاضیات را روشن می کنند و هر کدام به نوبه خود می تواند از عهده حل خیلی از دشواری ها برآید. با وجود این، به نظر می رسد دیدگاه سوم منطفی تر و عملی تر از دو دیدگاه دیگر باشد؛ به ویژه که در این دیدگاه، هیچ قومی و هیچ سرزمینی از قلم نمی افتد و سهم هر یک از آن ها در ساختمان ریاضیات کنونی روشن می شود و دیگر این که، این روند با قانون دیالکتیکی «نفی در نفی» هم سازگار است.
دوباره به این پرسش بر می گردیم: آیا پیشرفت ریاضیات قانونمند است؟
در پیشرفت و تاریخ ریاضیات، مجموعه ای از همزمانی ها با چشم می خورد که می تواند گره قانونمندی معینی از تکامل ریاضیات باشد. نوربرت وینر (16)(1894-1963م)، ریاضیات آزاد فکر آمریکایی، آلمانی تبار، که بنیانگذار دانش «سیبرنتیک» است، در کتابی که به شرح کارهای علمی خود اختصاص داده است، از پیشامد جالبی صحبت می کند.(17) زمانی این دانشمند در مورد نظریه پتانسیل کار می کرد. وقتی کارش به نتیجه معینی رسید، آن را برای فرهنگستان علوم پاریس فرستاد. در همان روزی که نوشته وینر به دفتر فرهنگستان رسید، نوشته ای در همان زمینه از بولیگان، ریاضیدان فرانسوی، نیز به آن جا رسید. فرهنگستان علوم پاریس دو پاکت را در یک روز باز کرد. کار بولیگان نیز در زمینه نظریه پتانسیل بود. نتیجه گیری های دو دانشمند (بی آن که از کار یکدیگر آگاه باشند) کم و بیش یکسان بود. فرهنگستان دو نوشته را با هم در یک رساله چاپ و با پیشگفتار درباره آن منتشر کرد.
لوباچفسکی، بایای و گوس، در یک زمان و در ضمن بدون آگاهی از کارهای یکدیگر، گونه ای از هندسه های نااقلیدسی (هندسه هیپربولیک) را کشف کردند. این هندسه تازه، به وسیله لوباچفسکی منتشر شد که در آغاز «هندسه تخیلی» نام گرفت، ولی بایای مجارستانی که به همان نتیجه ها رسیده بود، نتوانست کشف خود را به دیگران بقبولاند. گوس هم که از زخم زبان دیگران می ترسید، اندیشه ها و نوشته های خود را فاش نکرد، هر چند که لوباچفسکی و بایای خیلی به تأیید گوس در این زمینه نیاز داشتند. بعد از مرگ گوس نوشته ها و یادداشت های او درباره این گونه هندسه نااقلیدسی چاپ و منتشر شد.
گالوا و آبل به تقریب در یک زمان، حل مسئله های بالاتر از درجه چهارم را بررسی کردند. مجادله نیوتن و لایب نیتس و هواداران آن ها در کشف محاسبه دیفرانسیلی مشهور است. همچنین می توان از فرما و دکارت که به طور همزمان هندسه تحلیلی را کشف کردند یا پون تریاگین و کوراتوسکی که هر دو به طور جداگانه معیاری برای طرح ریزی گراف به دست آوردند نام برد تعداد این همزمانی ها آن قدر زیاد است که به روشنی احتمال تصادف را نفی می کند. در این جا باید قانونی از تکامل ریاضیات نهفته باشد که به صورت «همزاد بودن پیشامدها» نمایان شود.
در تاریخ، قانونمندی، به عنوان سازوکار تکامل و به عنوان منطق درونی تاریخ که ماهیت دگرگونی ها را روشن می کند شناخته می شود. وجود نشانه های فراوان همزمانی در کشف می تواند دلیلی جدی بر وجود این قانونمندی باشد و به نظر من این قانونمندی همان تناوب دوره های کاربردی و نظری در مسیر تکامل ریاضیات است که با قانون نفدر نفی در منطق جدید هم سازگار است.
برخی از همزمانی ها را به گونه دیگری باید تفسیر کرد: در سرزمین های جداگانه و دور از هم، آن هم در دورانی که ارتباط های فرهنگی گسترده ای وجود نداشت، مسیر تکامل ریاضیات کم و بیش یکسان بوده است. در سرزمین میان دورود، در مرحله ای از پیشرفت ریاضیات، متوجه شدند که برای عددنوسی باید از دو قانون اصلی پیروی کرد: اول استفاده از اصل موضعی بودن رقم ها، به این معنی که ارزش هر رقم بسته به مرتبه ای باشد که در آن قرار دارد (وقتی عدد 888 را می نویسیم، تنها از رقم 8 استفاده کرده ایم، در حالی که ارزش این رقم ها با هم فرق دارد. اگر از سمت راست در نظر بگیریم، نخستین 8 نماینده 8 است، در حالی که 8 دوم نماینده 80 و 8 سوم نماینده 800 است).
عدد نویسی موضعی در سرزمین عیلامی ها ( که بر جنوب و جنوب غربی ایران تسلط داشتند) هم در هزاره های پیش از میلاد کم و بیش شکل گرفته بود. قانون دوم عدد نویسی امروزی ( که در ضمن، نتیجه ای از قانون موضعی بودن رقم هاست)، استفاده از نماد و نشانه ای برای صفر است که بتوان آن را در مرتبه های خالی جا داد. تمدن عیلام و میان دورود نابود شد و بسیاری از دستاوردهای ریاضی آن ها از یاد رفت، ولی عدد نویسی موضعی و استفاده از نماد صفر، بعدها دوباره در هند کشف شد و از همان جا و به یاری ریاضیدانان ایرانی به ما و تمامی جهان رسید. این به معنای آن است که عدد نویسی در مرحله ای از تکامل خود، به ناچار به عددنویسی موضعی و استفاده از نماد صفر می رسد.
بررسی دقیق رساله سون تسه زی که از سده سوم میلادی در چین باقی مانده است، نشان می دهد که ریاضیدانان چینی به کشف کسرهای دهدهی بسیار نزدیک شده بودند. در مسیر تکامل ریاضیات ایرانی هم، جمشید کاشانی در کتاب مفتاح الحساب خود (830 هجری قمری/ 1427 میلادی)، بدون آگاهی از کارهای چینی ها دوباره کسرهای دهدهی را کشف کرد. بیش از 150 سال بعد، سیمون سته ون کتاب خود را در سال 1585 میلادی در اروپای غربی منتشر کرد و در آن برای بار سوم و باز هم به ظاهر بدون آگاهی از کارهای کاشانی، کسرهای دهدهی را مطرح ساخت.
همان طور که قبلاً گفتیم، این همزمانی ها در کشف های ریاضی آن قدر زیاد است که نمی توان آن ها را تصادفی به شمار آورد. باید قانونی پنهانی، حاکم بر مسیر تکاملی ریاضیات باشد که موجب کشف همزمان یا همزاد بودن پیشامد می شود.
توجه به ماهیت ریاضیات و انگیزه های پدید آمدن مفهوم های ریاضی و تکامل آن ها می تواند تأییدی بر این قانومندی باشد. دو انگیزه اصلی موجب پیدایش دانش ریاضی و پیشرفت آن شده است: انگیزه بیرونی و انگیزه درونی. انگیزه بیرونی به معنای تأثیر جهان خارج، زندگی و قانونمندی های حاکم بر طبیعت است. با پیچیده تر شدن زندگی اجتماعی، نیازهایی در انسان ایجاد می شود که باید ریاضیات به برخی از آن ها پاسخ بدهد. در مسیر پیشرفت دانش های دیگر نیز گره ها و ناروشنی هایی پیش می آید که برطرف کردن آنها جز از طریق ریاضیات ممکن نیست. به همین سبب است که امروز بسیاری از دانش ها، از اخترشناسی و فیزیک گرفته تا ژن شناسی و تاریخ، وابسته به ریاضیات شده اند.
این انگیزه بیرونی برای ریاضیات است که ستمگیری کاربردی دارد، هر چند که با انتزاعی بودن نظریه ها همراه باشد. ولی پیشرفت ریاضیات تحت تأثیر جدی انگیزه درونی هم قرار دارد. ریاضیات دارای منطقی درونی است. منطق درونی ریاضیات نه تنها مفهوم ها و قضیه ها را مانند حلقه های یک زنجیر به هم مربوط می کند، بلکه در ضمن، راه را برای ادامه آن هم نشان می دهد. نظریه های زیادی را می توان برای نمونه آورد که در آغاز، با انگیزه درونی آن و نیز منطق درونی ریاضیات، بدون آگاهی از جنبه های کاربردی آن، به وجود آمده اند، ولی نظریه های ناشی از انگیزه های درونی ریاضیات نیز در تحلیل آخر و به موقع خود، کاربردی عملی پیدا می کنند؛ زیرا بر اساس مفهوم هایی ساخته شده اند که ریشه در واقعیت جهان بیرون دارند.
نمونه ای می آوریم. در میانه های سده نوزدهم، نوشته جرج بول (18)(1815-1864م)، ریاضیدان ایرلندی، درباره منطق ریاضی منتشر شد. در آن زمان درباره این نوشته می گفتند:« این، یک بازی با نشانه ها و دشمن هرگونه اندیشه ای است»، « این نوشته هیچ گونه ارزش عملی ندارد». و به این ترتیب، این نوشته در آن زمان پذیرفته نشد.
سال ها بعد، این نوشته ای که «دشمن هرگونه اندیشه بود» و «هیچ گونه ارزش عملی نداشت»، در کار ساختمان رایانه ها کاربرد جدی پیدا کرد.
در این جا، نیروی درونی ریاضیات عمل می کند و تکامل آن به صورتی مستقل و به عنوان نتیجه ای از نظریه های قبلی انجام می گیرد و نظریه های انتزاعی تازه و تازه تری به دست می دهد. این نظریه های تازه نتیجه پشرفت طبیعی انتزاع است. تنها به نظر می رسد که از بنیان های خود جدا شده اند، ولی در واقع، آن ها نیز به دنیای مادی درستی آن ها را تأیید می کند. نظریه و عمل نمی توانند خیلی از هم فاصله بگیرند و اگر یکی از آن ها جلو افتاد، دیگری سعی می کند خود را به آن برساند.
باید به این نکته هم اشاره کرد که هرگز در هیچ زمانی نمی توان قانونمند بودن تکامل ریاضیات را یک بار برای همیشه تنظیم کرد. طبیعت منطقی ساز و کارهای کلی تکامل دانش ریاضی به ما تلقین می کند هیچ روشی جاویدان نیست. هر روشی در طول زمان تکامل می یابد و یا، به ناچار، روشی جایگزین روش پیشین می شود. ضمن بررسی قانونمندی های دانش و از آن جمله ریاضیات، نمی توان عنصرهای منطقی آن را جدا از تاریخ واقعی دانش در نظر گرفت. داوری درباره سازوکارهای تکامل بدون توجه به تاریخ ممکن نیست.