این قرن یکی از مهمترین قرنها در تاریخ ریاضیات است زیرا اساساْ دامنه تحقیقات گسترده در ریاضی، در همین قرن بر بشر گشوده شد، شاید به دلیل آزادیهای فکری بیشتر، پیشرفتهای سیاسی، اقتصادی و اجتماعی و در نتیجه رفاه بیشتر زندگی-به ویژه در مقابل سرما و تاریکی شمال اروپا.
پیشرفت علم ریاضی در این قرن آنقدر وسیع و گوناگون است که حتی نوشتن خلاصه ای از آن نیز مثنوی هفتاد من کاغذ خواهد شد. به ناچار باید به گزینش بعضی از کارهای اصیلتر و مهم تر در تاریخ ریاضی این قرن تن داد. از مهمترین اکتشافات - و شاید هم اختراعات - ریاضی در این قرن می توان به مطالب زیر اشاره کرد:
الف) کشف لگاریتم
ب) تدوین علامات و نمادگذاریهای کنونی جبری
ج) گشوده شدن پهنه جدیدی در هندسه محض به ویژه هندسه تصویری
د) آغاز اتصال جبر و هندسه با کشف هندسه تحلیلی
ه) پیشرفتی شگرف در نظریه اعداد و نیز تولد نظریه احتمال
و) کشف یکی از بزرگترین دستاوردهای بشر یعنی حساب دیفرانسیل و انتگرال
شاید بهترین راه برای بررسی تاریخ ریاضی این قرن، شرح مختصری از زندگانی ریاضیدانان برجسته قرن هفدهم باشد.
ریاضیدانان برجسته قرن هفدهم:
نپر: چهار اختراع، بشر را در فن محاسبه چیره دست کرد: نماد گذاری هندی-عربی، چگونگی محاسبه مربوط به کسرها، لگاریتم و رایانه ها. «جان نپر» سومین اختراع را به نام خود ثبت کرد. او به طرز عجیبی، هم سیاسی و هم مذهبی بود و نبوغ او در پیشگویی وسایل جنگی چهار قرن بعد از خود اعجاب آور است. تعریف لگاریتم به وسیله نپر، بیشتر فیزیکی است تا ریاضی. بد نیست بدانیم که پایه لگاریتم نپر بر خلاف تصور عموم، عدد e نیست بلکه معکوس e است که البته خود او چیزی در این زمینه نمی دانست. تذکر این نکته لازم است که در تکمیل مفهوم لگاریتم و جداول مربوط به آن، «هنری بریگز» که یکی از دوستان نپر بود، سهم بسزایی دارد و لگاریتم معمولی در پایه ۱۰ را معمولاْ «لگاریتم بریگزی» می نامند. لگاریتم به معنای «عدد نسبت» است که البته این مفهوم، همان طور که ذکر شد بر اساس تابع توانی -که هم اکنون تدریس می شود- به وجود نیامد و یکی از امور خلاف قاعده در تاریخ ریاضیات، کشف لگاریتم، پیش از به کار بردن نماهاست. البته سه اختراع مهم دیگر نیز در تاریخ ریاضی، به نام جان نپر به ثبت رسیده است. (مراجعه کنید به صفحه ۴ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز.)
پاسکال: این نابغه فرانسوی، یکی از بنیانگذاران هندسه محض و پیشرفته و نیز نظریه احتمال است. خواص اصلی اشکال معروف هندسی را در کودکی، بدون معلم و فقط با تلاشهای خودش به دست آورد. در شانزده سالگی مقاله ای درباره مقاطع مخروطی نوشت و در هجده یا نوزده سالگی، اولین ماشین حساب مکانیکی را اختراع کرد. اما متاسفانه در طول ۳۹ سال زندگی، به دلیل افراط و تفریطهای مذهبی، جسم ضعیف خود را بارها و بارها آزرد و چندین بار از ریاضیات دست کشید و دوباره به آن بازگشت. پاسکال را به عنوان یکی از بزرگترین «چه ها که می شد!!» در تاریخ ریاضیات شمرده اند. بعضی از کارهای او عبارتند از:
- تالیف مقاله مهمی درباره خواص اصلی مثلث خیام-پاسکال که در آن به طور جالبی از قدیمی ترین احکام قابل قبول استقرای ریاضی استفاده شده است.
- کشف و اثبات قضیه مشهور «هگزاگرام رمزی» که درباره یک ۶ ضلعی محاط در یک مقطع مخروطی است.
- پی ریزی علم احتمال به همراه «فرما» (ریاضیدان بزرگ فرانسوی). این علم به وسیله مکاتباتی بین پاسکال و فرما در تلاش برای حل «مساله امتیازها» در یک بازی شانسی به وجود آمد.
- اثری درباره منحنی سیکلوئید. این منحنی توسط نقطه ای واقع بر محیط یک دایره، هنگامی که دایره در امتداد خط مستقیمی بدون اصطکاک می غلطد، رسم می شود. این منحنی دهها خواص جالب و بسیار زیبا دارد و اختلافات بسیاری بین ریاضیدانان ایجاد کرد به طوری که به آن «سیب نفاق» گفتند (این نام بر اساس یک افسانه یونانی انتخاب شده است، برای مطالعه آن به پاورقی صفحه ۲۷ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز مراجعه فرمایید). جالب است که از دوران این منحنی حول محور طولها، چیزی شبیه به سیب ایجاد می شود.
دکارت: دکارت را معمولاْ مبدع هندسه تحلیلی می دانند که از روشهای جبری برای حل مسائل هندسی استفاده می کرد. این کار کمک بسیاری در ساده سازی مفاهیم هندسی و حل مطالب غامض و پیچیده آن کرد. او همچنین به حل معادلات با درجات بالاتر از ۲ پرداخت و قاعده زیبایی را به نام «قاعده علامات دکارت» برای تعیین تعداد ریشه های مثبت و منفی یک چند جمله ای به دست آورد(مراجعه کنید به صفحه ۷۰ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز). او برای اولین بار از روش ضرایب نامعین استفاده کرد که همان متحد قرار دادن دو چند جمله ای هم درجه برای به دست آوردن ضرایب نامعین است. البته دکارت در جهان بیرون از ریاضیات، فیلسوف بسیار مشهوری است و مطالب بسیاری را به جهان فلسفه تقدیم کرده است که البته بعضی از آنها کاملاْ نادرست هستند. در ضمن داستانهای جالبی درباره چگونگی کشف هندسه تحلیلی به او نسبت می دهند که ارزش آموزشی زیادی دارد (مراجعه کنید به صفحه ۵۰ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز).
فرما: معمولاْ فرما را بزرگترین ریاضیدان قرن هفدهم فرانسه می دانند. او حقوقدان بود و شغل رسمیش وکالت بود، اما قسمت مهمی از ساعات فراغت خود را وقف ریاضیات می کرد. او در بسیاری از شاخه های ریاضیات کارهای مهم و اساسی انجام داده است که مهمترین این کارها عبارتند از:
- تحقیقات اساسی پیرامون هندسه تحلیلی. فرما را باید در کنار دکارت یکی از موسسان
هندسه تحلیلی نامید. معمولاْ گفته می شود که کارهای فرما عکس کارهای دکارت بوده است. دکارت از مکان هندسی شروع می کرد و به معادله آن می رسید، اما فرما از معادله شروع و سپس مکان هندسی آن را مطالعه می کرده است.
- تاسیس نظریه نوین اعداد. فرما شهود و توانایی خارق العاده ای در نظریه اعداد داشت. قضایای بسیاری را در این زمینه با اثبات یا بدون اثبات بیان کرد که بعدها درست بودن اغلب قضایای ثابت نشده او به ثبوت رسید(مراجعه کنید به صفحه ۵۲ و ۵۳ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز). حدس مشهور او به نام «حدس آخر فرما» در آخرین دهه قرن بیستم به اثبات رسید!
- فرما به همراه پاسکال اساس علم احتمال را پی ریزی کرد.
- فرما در حساب دیفرانسیل نیز کارهای اساسی کرد. او ظاهراْ اولین کسی بود که از طریق معادله f'(x)=0 نقاط ماکزیمم و می نیمم یک تابع را به دست آورد(مراجعه کنید به صفحه ۹۳ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز). همچنین او یک روش کلی برای یافتن مماس بر نقطه ای از یک منحنی که مختصات دکارتی آن معلوم باشد، ابداع کرد(مراجعه کنید به صفحه ۹۳ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز).
ریاضیدانان معروف قرن ۱۷ که قبل و یا همزمان با نیوتن می زیستند و در شکل گیری و پیشرفت حساب دیفرانسیل و انتگرال نقش بسزایی داشتند: (۱) سیمون استوین (۲) لوکا والریو (این دو همان روشی را به کار بردند که ما برای پیدا کردن حجم یک جسم در حساب انتگرال به کار می بریم.) (۳) کاوالیری (۴) فرما (۵) جان والیس (نماد معروف بی نهایت را نیز به او مدیونیم.) (۶) آیزاک برو (که احتمالاْ قضیه اساسی حسابان را اولین بار او ثابت کرد.)
نیوتن: صحبت کردن پیرامون نیوتن و کارهای او ساده نیست. ریاضیدان و فیزیکدانی که به گفته لاگرانژ بزرگترین نابغه ای است که در جهان زیسته است. همچنین «لایبنیتز» رقیب سرسخت او در ستایشی بزرگ منشانه، نیمی از کارهای انجام شده ریاضی بشر تا عهد نیوتن را متعلق به نیوتن می داند. انسانی که در ۲۳ سالگی به درجه ای رسید که می توانست مماس و شعاع انحنا در یک نقطه از منحنی را پیدا کند. روشی که امروزه تحت عنوان حساب دیفرانسیل شناخته می شود. در ۲۷ سالگی به استادی دانشگاه برگزیده شد و حدود ۶۵ سال در ریاضیات و فیزیک کار کرد. پاپ دستاوردهای نیوتن را بدین صورت بیان کرده است: «طبیعت و قوانین طبیعت در ظلمت نهفته بودند، ذات باری فرمود نیوتن به وجود آید و همه چیز روشن شد.» البته نیوتن نیز خاضعانه در مقابل ستایشها می گفت که من همچون کودکی در حال بازی در کنار دریا هستم که گاهی صدفهای زیبایی توجهم را جلب می کند اما اقیانوسی از حقایق کشف ناشده در مقابلم قرار دارد. یکبار هم گفت که اگر افق دید او گسترده تر از دیگران است بدین علت است که بر دوش غولان ایستاده است و شاید منظور او از غولان، ارشمیدس و امثال او باشند.
کارهای ریاضی او به طور خلاصه به شرح زیر است:
- تالیف کتاب« اصول ریاضی فلسفه طبیعی» که با اصرار «هالی» ستاره شناس معروف و با هزینه او در سال ۱۶۸۷ چاپ شد. این کتاب به مطالعه دستگاه دینامیکی پدیده های زمینی و سماوی می پردازد و یک صورت بندی ریاضی از این پدیده هاست. این کتاب پرنفوذ ترین اثر در تاریخ علم به حساب می آید و تاثیر بسیاری بر دنیای جدید داشت. تاریخ ریاضیات ابتدایی اساساْ با آن پایان می یابد.
- بسط روش بی نهایت کوچکها یا همان حساب دیفرانسیل و نیز روشهای مربوط به سریهای نامتناهی
- بسط روشهای مربوط به ماکزیمم و می نیمم توابع، مماس بر منحنی ها، انحنای منحنی ها، نقاط عطف، تحدب و تقعر منحنی ها، محاسبه مساحتهای زیر منحنی ها و طول قوس آنها
- ارائه روشی برای تقریب زدن مقادیر ریشه های حقیقی یک معادله جبری یا غیر جبری و نیز روشهای زیبایی برای مطالعه منحنی های درجه سوم
لایب نیتز: این نابغه جامع ریاضیات، فلسفه، الاهیات و حقوق، رقیب جدی نیوتن در ابداع حسابان بود. عقیده رایج امروز این است که نیوتن و لایبنیتز، حسابان را مستقل از یکدیگر کشف کردند، اما لایبنیتز نتایج را زودتر انتشار داد، هر چند که کشف نیوتن زودتر انجام شده است، اما متاسفانه مشاجره اسفباری بین این دو بر سر تقدم در کشف حسابان در گرفت و هر کدام خود را موسس حساب دیفرانسیل و انتگرال می دانست. هر دو نیز در این مناقشه زیان دیدند، به ویژه نیوتن و ریاضیدانان همعصر او در انگلستان. البته لازم است ذکر شود که لایبنیتز را بزرگترین نابغه جامع قرن هفدهم می نامند و ظاهراْ تنها شخص شناخته شده تاریخ ریاضیات است که هم در ریاضیات پیوسته و هم در ریاضیات گسسته دارای اندیشه ای عالی بوده است. بد نیست بدانیم که لایبنیتز در واقع یک سیاستمدار و یک دیپلمات بود که برای انجام کارهای سیاسی به کشورهای دیگر سفر می کرد.
کارهای او در ریاضیات به طور خلاصه عبارتند از:
- ارائه قسمت مهمی از نمادهای کنونی ما در حساب دیفرانسیل و انتگرال از قبیل نماد dx و dy/dx و علامت انتگرال که از S کشیده Summa -یک کلمه لاتین به معنای مجموع- اقتباس شده است. هم اکنون از نمادهای نیوتن آنچنان استفاده نمی شود.
- استخراج بسیاری از قواعد مقدماتی مشتق گیری که معمولاْ در ابتدای درس مشتق در سطوح مختلف دبیرستانی و دانشگاهی آموزش داده میشود. قاعده یافتن مشتق n-ام حاصلضرب دو تابع را قاعده لایبنیتز می نامیم (مراجعه کنید به صفحه ۱۱۳ جلد دوم کتاب تاریخ ریاضیات هاوارد د. ایوز).
- تلاش برای پایه گذاری نظریه پوشها و تعریف دایره بوسان برای اولین بار
- ارائه اولین ایده ها در منطق ریاضی و نظریه مجموعه ها. او مجموعه تهی و احتوای مجموعه ها را نیز مطالعه کرده است و متوجه شباهتهای نظریه مجموعه ها و منطق ریاضی شده است (به طور مثال شباهت قوانین دمرگان در نظریه مجموعه ها و منطق).
- لایبنیتز احتمالا جزو اولین ریاضیدانانی است که نظریه قدرتمند دترمینانها را برای حل دستگاه معادلات خطی پدید آورده اند.